Arhimede

Divizibilitate (cmmdc, cmmmc). Operatii cu fractii pozitive. Rapoarte si proportii. Numere intregi. Puncte, drepte. Unghiuri. Congruenta triunghiurilor. Perpendicularitate. Paralelism. Linii importante. Paralelogramul.
petreandrei
utilizator
utilizator
Mesaje: 10
Membru din: 14 Feb 2010, 17:22
Localitate: Gaesti

Arhimede

Mesaj de petreandrei » 27 Feb 2010, 15:30

4.a)Sa se arate ca nu exista x si y astfel incat x^2+y^2=2010
b)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 13.
c)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 143.

Avatar utilizator
ex-admin
moderator
moderator
Mesaje: 1869
Membru din: 25 Ian 2007, 01:29

Re: Arhimede

Mesaj de ex-admin » 01 Mar 2010, 12:48

petreandrei scrie:4.a)Sa se arate ca nu exista x si y astfel incat x^2+y^2=2010.
Daca x ar fi numar par atunci y ar trebui sa fie de asemena numar par (se deduce cu usurinta).

Dar, daca x si y sunt numere pare atunci patratele lor se divid cu 4 astfel ca si suma patratelor trebuie sa se divida cu 4. Cum insa 2010 nu este divizibil cu 4, inseamna ca numerele x si y nu pot fi pare.

Acum, sa presupunem ca x si y sunt numere impare

Patratele impare au ultima cifra 1, 9 sau 5. Printr-un rationament asemanator celui de mai sus se poate dovedi ca cele doua patrate nu pot fi divizibile cu 5.

A ramas astfel doar posibilitatea ca unul dintre patrate sa aiba ultima cifra 1 iar celalalt sa aiba ultima cifra 9.

Acum, putem testa toate patratele care se termina in cifra 1 si sunt mai mici decat 2010 (nu sunt foarte multe):



Nu ramane decat sa le scadem din 2010 si sa constatam ca diferenta nu este patrat perfect.

Este posibil sa existe si o rezolvare mai ingenioasa, dar nici aceasta nu este foarte durativa!

vladsabau
utilizator
utilizator
Mesaje: 63
Membru din: 06 Dec 2008, 21:16

Mesaj de vladsabau » 06 Mar 2010, 20:57

Dar punctele
b)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 13.
c)Sa se calculeze restul impartirii lui 8^2010 la 143.


... cum se pot rezolva?

Scrie răspuns