Sa se arate ca functia :
este surjectiva.
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Mai întâi voi numerota câteva observații.
Atunci f(n)=m.
,
și
se află exact m numere naturale.![formula matematica I_n=(n\sqrt{2};n\sqrt{3}).](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d02a2a768b415328912ef395a83a6ac_l3.png)
, crește nemărginit odată cu n, deci și valorile funcției f cresc nemărginit ( funcția noastră nu este mărginită superior).
. Față de primul interval, cel de al doilea pierde unul sau două numere naturale din intervalul
,
, căci cele două intervale au lungimile
și se aplică 2.
1. A demonstra că funcția noastră este surjectivă înseamnă a arăta că toate numerele naturale sunt valori ale ei.
2. Orice interval de lungime l mai mare ca 1, dar mai mică decât 2 conține cel puțin un număr întreg și cel mult două astfel de numere.
3. Fie numerele naturale k și m definite astfel:
4. Pe axa numerelor avem următoarea situare:
deci între numerele reale
Putem redefini funcția noastră astfel: f(n)= numărul numerelor naturale conținute de intervalul
5. Lungimea acestui interval,
6. Să comparăm intervalele
dar câștigă unul sau două numere naturale din intervalul
Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1.
Fie m o valoare a funcției si n – cel mai mare număr natural a. î. f(n)=m (din observația 5. există un asemenea n).
Datorită acestei alegeri, nu putem avea f(n+1)=m sau f(n+1)=m-1, ci doar f(n+1)=m+1. Cu alte cuvinte, dacă numărul natural m este o valoare, atunci și m+1 este valoare a funcției. Cum și 0 este valoare, (f(0)=f(1)=0), am demonstrat, prin inducție, că toate numerele naturale sunt valori.
N-am intalnit in viata mea o astfel de abordare… credeti ca exista o demonstratie mai obisnuita sa zic asa….o solutie de gazeta?
Probanil că există, dar mie nu mi s-a arătat! A trebuit să aștept ca Sf. Duh să pogoare și asupra mea ca să pot și eu, nevrednicul, să arăt altora o cale😀 💡
Oricum, problema este frumoasă, ar fi nimerit ca Felixx să ne spună povestea ei. Iar dacă cineva găsește vreo soluție mai acătării, să ne delecteze cu ea
Am postat o pe facebook pe comunitatea profesorilor de mate, daca primesc ceva va anunt!
Făcui din zdrenţe muguri şi coroane.
Veninul strâns l-am preschimbat în miere,
Lăsând întreaga dulcea lui putere
Descrie foarte bine aceasta solutie!
Multumesc mult pentru aceasta solutie cu o multime de detalii.
Domnule profesor ghioknt, am studiat solutia si nu imi este clar asta „Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1”. Nu imi este clar de ce din compararea celor 2 intervale si facand observatia cu castig/pierdere din termeni deducem posibilitatea aceea. Puteti fi mai explicit/mai in detaliu?
Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.
Uite că n-a fost nevoie să fiu mai explicit. Exact acestea sunt cele patru situații posibile, iar tu le-ai intuit perfect😀