Functii surjective

Grupuri. Inele si corpuri. Polinoame. Primitive. Integrala definita. Aplicatii ale integralei definite.
Felixx
senior
senior
Mesaje: 464
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Functii surjective

Mesaj de Felixx » 03 Iun 2020, 01:45

Sa se arate ca functia :

este surjectiva.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1610
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Functii surjective

Mesaj de ghioknt » 07 Iun 2020, 20:32

Mai întâi voi numerota câteva observații.
1. A demonstra că funcția noastră este surjectivă înseamnă a arăta că toate numerele naturale sunt valori ale ei.
2. Orice interval de lungime l mai mare ca 1, dar mai mică decât 2 conține cel puțin un număr întreg și cel mult două astfel de numere.
3. Fie numerele naturale k și m definite astfel: Atunci f(n)=m.
4. Pe axa numerelor avem următoarea situare:
,
deci între numerele reale și se află exact m numere naturale.
Putem redefini funcția noastră astfel: f(n)= numărul numerelor naturale conținute de intervalul
5. Lungimea acestui interval, , crește nemărginit odată cu n, deci și valorile funcției f cresc nemărginit ( funcția noastră nu este mărginită superior).
6. Să comparăm intervalele . Față de primul interval, cel de al doilea pierde unul sau două numere naturale din intervalul ,
dar câștigă unul sau două numere naturale din intervalul , căci cele două intervale au lungimile și se aplică 2.
Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1.

Fie m o valoare a funcției si n - cel mai mare număr natural a. î. f(n)=m (din observația 5. există un asemenea n).
Datorită acestei alegeri, nu putem avea f(n+1)=m sau f(n+1)=m-1, ci doar f(n+1)=m+1. Cu alte cuvinte, dacă numărul natural m este o valoare, atunci și m+1 este valoare a funcției. Cum și 0 este valoare, (f(0)=f(1)=0), am demonstrat, prin inducție, că toate numerele naturale sunt valori.

grapefruit
veteran
veteran
Mesaje: 1055
Membru din: 24 Iul 2013, 17:40

Re: Functii surjective

Mesaj de grapefruit » 07 Iun 2020, 22:23

N-am intalnit in viata mea o astfel de abordare... credeti ca exista o demonstratie mai obisnuita sa zic asa....o solutie de gazeta?

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1610
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Functii surjective

Mesaj de ghioknt » 07 Iun 2020, 22:52

Probanil că există, dar mie nu mi s-a arătat! A trebuit să aștept ca Sf. Duh să pogoare și asupra mea ca să pot și eu, nevrednicul, să arăt altora o cale :D
Oricum, problema este frumoasă, ar fi nimerit ca Felixx să ne spună povestea ei. Iar dacă cineva găsește vreo soluție mai acătării, să ne delecteze cu ea :idea:

grapefruit
veteran
veteran
Mesaje: 1055
Membru din: 24 Iul 2013, 17:40

Re: Functii surjective

Mesaj de grapefruit » 08 Iun 2020, 00:07

Am postat o pe facebook pe comunitatea profesorilor de mate, daca primesc ceva va anunt!

grapefruit
veteran
veteran
Mesaje: 1055
Membru din: 24 Iul 2013, 17:40

Re: Functii surjective

Mesaj de grapefruit » 08 Iun 2020, 00:16

Făcui din zdrenţe muguri şi coroane.
Veninul strâns l-am preschimbat în miere,
Lăsând întreaga dulcea lui putere

Descrie foarte bine aceasta solutie!

Felixx
senior
senior
Mesaje: 464
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Functii surjective

Mesaj de Felixx » 09 Iun 2020, 23:41

Multumesc mult pentru aceasta solutie cu o multime de detalii.

grapefruit
veteran
veteran
Mesaje: 1055
Membru din: 24 Iul 2013, 17:40

Re: Functii surjective

Mesaj de grapefruit » 20 Iun 2020, 15:48

Domnule profesor ghioknt, am studiat solutia si nu imi este clar asta "Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1". Nu imi este clar de ce din compararea celor 2 intervale si facand observatia cu castig/pierdere din termeni deducem posibilitatea aceea. Puteti fi mai explicit/mai in detaliu?

Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1610
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Functii surjective

Mesaj de ghioknt » 22 Iun 2020, 22:58

grapefruit scrie:
20 Iun 2020, 15:48

Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.
Uite că n-a fost nevoie să fiu mai explicit. Exact acestea sunt cele patru situații posibile, iar tu le-ai intuit perfect :D

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj