Determinarea inversei

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
Emil Gheorghiu
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 22 Aug 2017, 16:50
Localitate: Timisoara

Determinarea inversei

Mesaj de Emil Gheorghiu » 14 Dec 2019, 19:59

Stiind ca următoarea funcție este bijectiva, determinați inversa acesteia:
Mulțumes.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1614
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Determinarea inversei

Mesaj de ghioknt » 15 Dec 2019, 21:39

Funcția dată este bijectivă dacă și numai dacă, pentru orice y din R (codomeniu), ecuația f(x)=y are o singură soluție în (0; 1) (domeniu). Atunci expresia în variabila y a inversei este tocmai expresia soluției din intervalul (0; 1) a acestei ecuații.
f(x)=y devine, dupa eliminarea numitorilor,
Pentru y=0 ecuatația este de gradul 1 și are soluția unică x=1/2, aflată chiar în interval.
Pentru y>0: f(0)=-1 are semn contrar lui "a", iar f(1)=1 are semnul lui "a"; asta înseamnă că rădăcinile ecuației au următoarea situare, , deci în intervalul (0; 1) se află rădăcina mai mare,
.
Pentru y<0: f(0)=-1 are semnul lui "a", iar f(1)=1 are semn contrar lui "a"; asta înseamnă că rădăcinile ecuației au următoarea situare, , deci în intervalul (0; 1) se află rădăcina mai mică,
.
Putem spune
Dacă însă amplificăm expresia cu conjugata numărătorului, avem și
expresie care este definită și în 0 și chiar ia valoarea 1/2 în acest punct.

Scrie răspuns