Problema cu matrice

Grupuri. Inele si corpuri. Polinoame. Primitive. Integrala definita. Aplicatii ale integralei definite.
Menim
utilizator
utilizator
Mesaje: 12
Membru din: 28 Noi 2018, 22:39

Problema cu matrice

Mesaj de Menim » 30 Noi 2019, 19:34

Se da o matrice patratica A, de 3x3, pe R. Se stie ca A^2018=O3 si ca exista B, tot matrice patratica de 3x3 pe R, cu prop ca A^2017B+BA=I3

Se dau 6 afirmatii:
a)A=A transpus
b)tr(A)=0
c)A^2=O3
d)A^3=O3
e)A^1009=O3
f)nu exista A

Care dintre acestea este adevarata?

Prima idee care mi-a venit a fost sa inmultesc A^2017B+BA=I3 la stanga cu A, obtinand ca ABA=A. Aplicand trace sau det nu am reusit sa ajung la niciu rezultat. Am mai observat din A^2018=O3 ca detA=0, dar nu vad la ce ar ajuta acest lucru.

Nu stiu cum as putea continua, sau daca sunt macar pe calea cea buna. Orice idee e bine-venita! Va multumesc pentru ajutor!

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1573
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Problema cu matrice

Mesaj de ghioknt » 03 Dec 2019, 22:32

Din deducem detA=0.
Relația lui Cayley se scrie atunci
Presupunem Înmulțim în (1) cu :
Deci c=0 și relația lui Cayley devine Înmulțind-o acum cu obținem
, deci trA=0, de unde și la fel toate puterile lui A cu exponent
>3,inclusiv 2017. Atunci trebuie să admitem ca adevărată propoziția
Dar atunci cealaltă relație din ipoteză devine , de unde (detB)(detA)=1, adică 0=1.
În concluzie răspunsul pare să fie f).

Menim
utilizator
utilizator
Mesaje: 12
Membru din: 28 Noi 2018, 22:39

Re: Problema cu matrice

Mesaj de Menim » 05 Dec 2019, 15:17

Va multumesc pentru raspuns! Am gasit o rezolvare care duce la acelasi rezultat, folosind un rationament asemanator, aici.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj