Suma fractii

Amator · Mesaj de **Amator** » 11 Ian 2019, 21:00

Buna seara!

Cum as putea demonstra ca 1 / 2^2 + 2 / 3^2 + ... + 63 / 64^2 < 6?

Amator · Mesaj de **Amator** » 12 Ian 2019, 08:51

E simplu, se pot majora termenii cu 1/n și apoi cu 1/2.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 13 Ian 2019, 08:43

Amator scrie: ↑
12 Ian 2019, 08:51
E simplu, se pot majora termenii cu 1/n și apoi cu 1/2.

Bună dimineața,

Nu-nțeleg!Cum majorați termenii cu $\frac{1}{n}$ și apoi cu $\frac{1}{2}$ ?
-----------------------------------------
Termenul general al acelei sume este $\frac{k}{(k+1)^2}$ unde $k\in \mathbb N^$ * , $1\leq k\leq 63$ .Este evident că
în general $\frac{k}{(k+1)^2}<\frac{1}{k}$ pentru orice $k\in \mathbb N^$ * , dar raționamentul meu este următorul:
$\frac{1}{2^2}<\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3^2}<\frac{1}{3}$
$\frac{3}{4^2}<\frac{1}{4}$
..........................................
$\frac{63}{64^2}<\frac{1}{64}$ și deci prin însumarea inegalităților obținem că
$S_1=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{4^2}+\dots +\frac{63}{64^2}<S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{64}$ .În continuare raționăm în felul urmator:
$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5}<\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}<\frac{1}{4}$
$\frac{1}{7}<\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$
$\frac{1}{9}<\frac{1}{8}$
$\frac{1}{10}<\frac{1}{8}$
.........................................
$\frac{1}{15}<\frac{1}{8}$
$\frac{1}{16}=\frac{1}{16}$
$\frac{1}{17}<\frac{1}{16}$
$\frac{1}{18}<\frac{1}{16}$
..........................................
$\frac{1}{31}<\frac{1}{16}$
$\frac{1}{32}=\frac{1}{32}$
$\frac{1}{33}<\frac{1}{32}$
..........................................
$\frac{1}{63}<\frac{1}{32}$
$\frac{1}{64}=\frac{1}{64}$ și deci prin însumarea inegalităților obținem că
$S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{64}<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+4\cdot \frac{1}{4}+8\cdot \frac{1}{8}+16\cdot \frac{1}{16}+32\cdot \frac{1}{32}+\frac{1}{64}=\frac{5}{6}+4+\frac{1}{64}=4+\frac{163}{192}<5$ .În concluzie rezultă că
$S_1=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{4^2}+\dots +\frac{63}{64^2}<S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{64}<5$

Toate cele bune,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

Suma fractii

Suma fractii

Re: Suma fractii

Re: Suma fractii