Problema de determinanti

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
Menim
utilizator
utilizator
Mesaje: 6
Membru din: 28 Noi 2018, 22:39

Problema de determinanti

Mesaj de Menim » 28 Noi 2018, 22:44

Avem 2 matrici A si B de 2x2 cu elemente reale. Trebuie demonstrat ca det(A^2+B^2)>=det(AB-BA).
Am incercat sa il fac prin calcul direct dar nu mi-a iesit nimic. Vreo idee?

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1563
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Problema de determinanti

Mesaj de ghioknt » 29 Noi 2018, 22:36

Singura idee pe care o am acum în minte se bazează pe relația det(X+tY)=det(X)+t(d'+d'')+t^2det(Y) (1)
unde d' și d'' sunt doi determinanți, primul format din prima coloană a lui X și a doua coloană a lui Y, celălalt viceversa.
Este clar că det[(A+iB)(A-iB)]=det(A+iB)det(A-iB) este un număr real și nenegativ pentru că cei doi determinanți care se înmulțesc sunt numere complexe conjugate. Însă

conform relației (1), aplicată pentru .
Cum rezultatul trebuie să fie număr real și >=0, deducem d'+d''=0 și inegalitatea din concluzia problemei.

Menim
utilizator
utilizator
Mesaje: 6
Membru din: 28 Noi 2018, 22:39

Re: Problema de determinanti

Mesaj de Menim » 30 Noi 2018, 14:26

Va multumesc pentru raspuns! E prima data cand vad formula (1). Se poate inchide topicul.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj