Limita, ojm 2004

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Limita, ojm 2004

Mesaj de quaintej » 07 Oct 2018, 15:28

Buna ziua!
Am o nelamurire legata de o problema de la olimpiada de matematica,etapa judeteana din 2004.
Enunt: Fie sirul definit de si pentru orice n natural
Sa se calculeze a)
b)
Subpunctul a) l-am rezolvat eu, am demonstrat ca x_n este strict crescator si nemarginit astfel ca limita lui este plus infinit.
La b) am incercat si eu sa aplic Lema Stolz-Cesaro la fel ca pe baremul din poza de mai jos dar nu am stiut cum sa continui si nici nu inteleg cum se ajunge de la ultima limita scrisa la acel 3/2
forumm.png
Imi poate explica cineva,va rog frumos?
Pe langa asta, exista si alte metode de rezolvare? Daca da, dati-mi va rog niste idei :D
Multumesc anticipat!
Las link totusi pentru enunt si barem:
https://static.olimpiade.ro/uploads/dat ... XI-a_0.pdf
https://static.olimpiade.ro/uploads/dat ... XI-a_0.pdf

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2836
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: Limita, ojm 2004

Mesaj de PhantomR » 07 Oct 2018, 22:23

.

Acum, daca privim si numaratorul si numitorul ca un fel de "polinoame", putem observa ca si sus si jos "termenul dominant" este . Simplificand fortat fractia prin aceasta valoare, obtinem , de unde limita este ..

NOTA: Legat de a), nu stiu cum ati demonstrat ca sirul e nemarginit, dar o metoda rapida era urmatoarea: dupa ce ati aratat ca e strict monoton, rezulta ca are o limita . Daca ar fi marginit, limita ar fi finita, dar trecand la limita in relatia de recurenta rezulta , imposibil. Deci sirul e nemarginit.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Limita, ojm 2004

Mesaj de quaintej » 08 Oct 2018, 19:45

Multumesc frumos, acum am inteles.
PhantomR scrie:
07 Oct 2018, 22:23
NOTA: Legat de a), nu stiu cum ati demonstrat ca sirul e nemarginit, dar o metoda rapida era urmatoarea: dupa ce ati aratat ca e strict monoton, rezulta ca are o limita . Daca ar fi marginit, limita ar fi finita, dar trecand la limita in relatia de recurenta rezulta , imposibil. Deci sirul e nemarginit.
Asa am demonstrat si eu :D

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj