problema puteri, cmmdc

Numere reale. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Functii. Sisteme de ecuatii. Geometrie in spatiu. Corpuri. Arii si volume.
ionut317
utilizator
utilizator
Mesaje: 4
Membru din: 11 Sep 2018, 21:51

problema puteri, cmmdc

Mesaj de ionut317 » 16 Sep 2018, 21:36





Demonstrati ca (x, y) =1 ; i si j sunt numere naturale nenule si diferite

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: problema puteri, cmmdc

Mesaj de PhantomR » 17 Sep 2018, 00:23

Fie un numar prim care divide si . Cum sunt impare rezulta . Incercam sa ajungem la contradictia .

Presupunem ca , celalalt caz tratandu-se analog.

Avem . Daca , rezulta , de unde , fals. Deci . Notam si avem si .

Observam ca
, deci (1).

Din si din faptul ca , prin adunare deducem , deci adica , contradictie.

Asadar, nu exista niciun numar prim care divide si , adica .

NOTA: Din antepenultimul paragraf al demonstratiei deducem ca daca un numar (nu neaparat prim) pentru un , atunci .

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1610
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: problema puteri, cmmdc

Mesaj de ghioknt » 23 Sep 2018, 20:53

PhantomR scrie:
17 Sep 2018, 00:23

Presupunem ca , celalalt caz tratandu-se analog.

Observam ca
, deci (1).
Nu înțeleg cum, pe al doilea rând, apare factorul pe primul rând exponenții lui 2 sunt, la rândul lor, puteri ale lui 2, în timp ce acel nu este întotdeauna o putere a lui 2.

Voi folosi următoarea afirmație ușor de probat: dacă 2 numere dau la împărțirea cu d>1 restul 1, atunci și produsul lor da la împărțirea cu d dă tot restul 1 cu consecința, dacă un numar natural dă restul 1 la împărțirea cu d, atunci orice putere a sa dă același rest, 1.
Fie d un divizor comun al celor două numere: . Deducem
, deci avem un număr care dă restul 1 la împărțirea cu d.
.
De aici concluzia că d este un divizor al lui 2. Cum 2 nu poate fi, rămâne d=1.

PhantomR
guru
guru
Mesaje: 2861
Membru din: 27 Apr 2011, 18:16

Re: problema puteri, cmmdc

Mesaj de PhantomR » 23 Sep 2018, 23:15

ghioknt scrie:
23 Sep 2018, 20:53
PhantomR scrie:
17 Sep 2018, 00:23

Presupunem ca , celalalt caz tratandu-se analog.

Observam ca
, deci (1).
Nu înțeleg cum, pe al doilea rând, apare factorul pe primul rând exponenții lui 2 sunt, la rândul lor, puteri ale lui 2, în timp ce acel nu este întotdeauna o putere a lui 2.
Adevarat.. atunci 'demonstratia' mea e gresita. Ma bucur ca mi-a spus cineva, chiar asteptam un feedback. Am avut iluzia ca puterea scade si nu doar exponentul puterii lui de la putere..

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj