Admitere UTCN2015/12

Grupuri. Inele si corpuri. Polinoame. Primitive. Integrala definita. Aplicatii ale integralei definite.
jklR7
utilizator
utilizator
Mesaje: 47
Membru din: 08 Apr 2018, 14:18

Admitere UTCN2015/12

Mesaj de jklR7 » 13 Iul 2018, 17:53


Am încercat sa scriu expresia din interiorul integralei ca și așa să încerc să "prind" în clește; nu a funcționat.

Felixx
junior
junior
Mesaje: 291
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de Felixx » 13 Iul 2018, 21:45

Calculele sunt destul de laborioase in rezolvarea acestei probleme.O sa schitez pasii necesari.

Atunci:
.Aici facem substitutia de variabila :
Integrala devine:

Atentie la limitele de integrare la calculul acestei integrale! Ce modalitate ai de a o scrie altfel?
De asemenea in aceasta faza poti folosi rezultatul:
Fie si .Atunci:
, care este o relatie de recurenta ce se obtine facand o simpla integrare prin parti

Efectuand calculele ( foarte multe) vei obtine relatia de recurenta pentru sirul din cazul problemei tale.Vei trece apoi la limita in relatia de recurenta
tinand seama de :

si vei obtine limita cautata!

jklR7
utilizator
utilizator
Mesaje: 47
Membru din: 08 Apr 2018, 14:18

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de jklR7 » 14 Iul 2018, 18:26

Felixx scrie:
13 Iul 2018, 21:45
Calculele sunt destul de laborioase in rezolvarea acestei probleme.O sa schitez pasii necesari.

Atunci:
.Aici facem substitutia de variabila :
Integrala devine:

Atentie la limitele de integrare la calculul acestei integrale! Ce modalitate ai de a o scrie altfel?
De asemenea in aceasta faza poti folosi rezultatul:
Fie si .Atunci:
, care este o relatie de recurenta ce se obtine facand o simpla integrare prin parti

Efectuand calculele ( foarte multe) vei obtine relatia de recurenta pentru sirul din cazul problemei tale.Vei trece apoi la limita in relatia de recurenta
tinand seama de :

si vei obtine limita cautata!
Vă mulțumesc!


ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1436
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de ghioknt » 15 Iul 2018, 13:29

Soluția de mai sus, a lui Felixx, este una particulară care se bazează pe faptul că în integrală apare funcția trigonometrică g(x)=cosx-sinx. Pentru altă funcție, trebuie găsita altă rezolvare.
Eu m-am oferit aici viewtopic.php?t=38593 să scriu o demonstrație mai generală, valabilă pentru o clasă mai largă de șiruri de integrale, dar nimeni nu s-a arătat interesat. Eu aș propune să utilizam următorul rezultat: Dacă este derivabilă și cu derivată continuă, atunci

De fapt cred că rezultatul este valabil și pentru funcții f doar cuntinue pe intervalul respectiv, dar mi-e mai greu de demonstrat.
g'(x)=-sinx-cosx<0 pe [0; 1] arată că g este strict descrescătoare pe [0; 1], deci g:[0; 1]-->[g(1); 1] este inversabilă și inversa sa este derivabilă ori de câte ori este derivabilă g. În plus, din pi/4<1<pi/2: g(pi/2)<g(1)<g(pi/4), adică -1<g(1)<0.
Propun schimbarea de variabilă t=g(x), deci .

pentru că g(0)=1.

Felixx
junior
junior
Mesaje: 291
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de Felixx » 15 Iul 2018, 15:08

ghioknt scrie:
15 Iul 2018, 13:29
Soluția de mai sus, a lui Felixx, este una particulară care se bazează pe faptul că în integrală apare funcția trigonometrică g(x)=cosx-sinx. Pentru altă funcție, trebuie găsita altă rezolvare.
Eu m-am oferit aici viewtopic.php?t=38593 să scriu o demonstrație mai generală, valabilă pentru o clasă mai largă de șiruri de integrale, dar nimeni nu s-a arătat interesat. Eu aș propune să utilizam următorul rezultat: Dacă este derivabilă și cu derivată continuă, atunci

De fapt cred că rezultatul este valabil și pentru funcții f doar cuntinue pe intervalul respectiv, dar mi-e mai greu de demonstrat.
g'(x)=-sinx-cosx<0 pe [0; 1] arată că g este strict descrescătoare pe [0; 1], deci g:[0; 1]-->[g(1); 1] este inversabilă și inversa sa este derivabilă ori de câte ori este derivabilă g. În plus, din pi/4<1<pi/2: g(pi/2)<g(1)<g(pi/4), adică -1<g(1)<0.
Propun schimbarea de variabilă t=g(x), deci .

pentru că g(0)=1.
Foarte interesant rezultatul dumneavoastra si util in acelasi timp.
V-as intreba daca putem sa-l aplicam si in cazul limitei de mai jos(si daca se poate sa detailati putin) sau daca exista o alta abordare mai simpla:

stiind ca intervalul de integrare
.....................................................................................................................
Eu am incercat asa :
Din atunci rezulta ca :


si mai ramane sa aratam ca :

Atunci conform criteriul clestelui limita ar fi zero.
Pentru a calcula ultima limita, am urmat pasii expusi mai sus in cazul problemei UTCN2015/12, ce mi-a luat ceva timp de finalizare a calculelor.
MULTUMESC.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1436
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de ghioknt » 15 Iul 2018, 23:18

Felixx scrie:
15 Iul 2018, 15:08
Foarte interesant rezultatul dumneavoastra si util in acelasi timp.
V-as intreba daca putem sa-l aplicam si in cazul limitei de mai jos(si daca se poate sa detailati putin) sau daca exista o alta abordare mai simpla:

stiind ca intervalul de integrare
.....................................................................................................................
Eu am incercat asa :
Din atunci rezulta ca :
Observ. Această inegalitate poate fi falsă; funcția cosinus poate lua și valori negative pe acel interval.
Rezultatul de mai sus s-ar putea aplica doar dacă integrala ar avea și un n infață, iar intervalul de integrare ar fi [0;b], cu b<pi/2, ca atunci când fac schimbarea de variabilă să trec într-un interval de forma [a; 1], ca în teoria prezentată.
Observând că funcția este strict descrescatoare pe
din deduc , deci sup|f(x)|=M<1.
Atunci
Ultima expresie are limita 0 datorita lui M subunitar, ceeace rezolvă problema. Observi importanța premizei că 0<a<b<pi/2.

Felixx
junior
junior
Mesaje: 291
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de Felixx » 16 Iul 2018, 01:12

Da,m-au lasat neuronii!!! Am mai discutat cu dumneavoastra aceasta limita aici:
viewtopic.php?t=38289
Numai ca acolo eu nu v-am spus nimic de modul in care am incercat sa o rezolv.
Multumesc mult.
In concluzie ,putem folosi cu incredere rezultatul expus de dumneavoastra?
Uitasem. Legat de observatie,aveti dreptate.Este o neatentie de-a mea. Se vede si din grafic ca acea functie ia valori si negative pe acel interval.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1436
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de ghioknt » 16 Iul 2018, 17:39

Vezi avantajul că te lasă neuronii? Fiecare problemă ți se pare ... nouă și inedită. :)
Iar întrebarea cu încrederea vrea să însemne: pune domne și o demonstrație, că altfel n-am încredere?

Felixx
junior
junior
Mesaje: 291
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de Felixx » 16 Iul 2018, 18:49

ghioknt scrie:
16 Iul 2018, 17:39
Vezi avantajul că te lasă neuronii? Fiecare problemă ți se pare ... nouă și inedită. :)
Iar întrebarea cu încrederea vrea să însemne: pune domne și o demonstrație, că altfel n-am încredere?
Nu am vrut sa spun ca nu am incredere in dumneavoastra ( mai ales ca va urmaresc de atata timp pe acest site si apreciez calitatea exceptionala a ideilor cu care veniti in rezolvarea unor probleme, de la care am invatat atatea lucruri noi ),dar stiti bine ca si la olimpiada orice rezultat folosit in solutionarea unei probleme necesita o mica demonstratie.Tot spuneati ca nu e nimeni interesat...asa ca ne-am bucura toti daca ar exista si o demonstratie :).
Multumim,domnule profesor ghioknt.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1436
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de ghioknt » 16 Iul 2018, 20:20

Eu am contat pe următoarea afirmație:
Dacă este derivabilă și cu derivată continuă, atunci


1) Dacă f este continuă, atunci
În cazul a>0,

În cazul a<0,
.
În ambele cazuri am folosit mărginirea unei funcții continue, iar expresiile finale au limita 0 pentru că a sau -a sunt pozitive subunitare.
2) Dacă, în plus, f este derivabilă și cu derivată continuă, .
Evident, primul termen are limita f(1), iar al doilea, speculând ca mai sus mărginirea lui f', are limita 0.
3) În concluzie,

Felixx
junior
junior
Mesaje: 291
Membru din: 26 Apr 2015, 01:08

Re: Admitere UTCN2015/12

Mesaj de Felixx » 16 Iul 2018, 20:43

Multumim,domnule profesor ghioknt.Un rezultat intr-adevar foarte util.Trebuie adaugat in caietul cu "retete" si scos de acolo la nevoie.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj