Fie matricea:
Atunci este de forma:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
……………………………………………………………………………………………………….
Am incercat determinarea lui pentru a incerca sa gasesc raspunsul corect.
.
Atunci ecuatia caracteristica este:
cu radacinile:
Atunci are forma :
unde B si C se determina din conditiile n-1 si n=2.
Dar calculele sunt destul de complicate datorita formei lui si
…………………………………………………………………………………………….
O alta idee ar fi scrierea matricei A ca suma de 2 matrici si dezvoltarea lui dupa formula binomului lui Newton.
………………………………………………………………………………………….
Dar cred ca exista o metoda mult mai rapida de rezolvare!In lipsa de alte idei m-am hotarat sa postez problema.
O rezolvare prin eliminare, profitand de faptul ca toate variantele (fara una) vorbesc de numere naturale:
Determinantul pt a) e , deci pica.
Determinantul pentru c) e , deci pica (e numar par)
Determinantu pentru d) e , deci , de unde , deci
, imposibil, caci se vede ca elementele matricei cresc pe masura ce o ridicam la putere..
Determinantul pentru e) este cu , deci sau .. in ambele cazuri, adunand cele doua relatii rezulta impar, imposibil.
Pentru f) , relatia cu determinant se scrie sau
sau . Rezulta . Deoarece (numere prime (recunosc, am cautat pe Google daca e prim)), rezulta , deci . Atunci obtinem relatia:
sau sau
sau . Obtinem ca are ultima cifra zero, deci are ultima cifra trei: .
Rezulta sau .
Observand ca membrul stang e par, iar cel drept impar, pica si aceasta varianta.
Raspuns corect:
.
–
Alta idee:
Nu am dus la capat, dar m-am folosit de ideea dumneavoastra de a folosi binomul lui Newton:
, unde si . Avem si .
Obtinem
.
Daca bagam si termenul din chenar in suma, ne lipsesc doar 2 termeni pentru a obtine o suma din binomul lui Newton: .
Deci =..
Luam ….
––
Multumesc de ajutor,domnule PhantomR.
La ananghie (examen), observarea faptului că este de forma b) mi se pare suficient pentru a risca acest răspuns.
O rezolvare acceptabilă mi se pare a fi demonstrarea prin inducție a propoziției
Pentru este suficient să constatăm că elementele acestei matrici satisfac condițiile
după care alegem să notăm cu x(n+1) valoarea comună a celor două rapoarte și cu a(n+1) pe .
Multumesc,domnule profesor ghioknt.