1. Fie A,B astfel incat .Sa se arate ca daca atunci n este divizibil cu 12.
2.Fie A si B doua matrici de ordin cu numere reale ,care satisfac relatia .
a)Sa se arate ca .
b)Sa se arate ca daca si numai daca cel putin una dintre matricile A sau B are rangul n.
3.Fie C,unde n este un numar impar.Sa se arate ca
Please oricare din ele.
La 2, avem . Membrul stang trimite cu gandul la : . Deci matricele sunt inversabile si una e inversa celeilalte. Atunci, e adevarat si . Deci si atunci rezultatul a) e unul pe care eu cel putin l-am vazut foarte des: se demonstreaza scriind si faptul ca . La b), trecand la determinanti in relatia din ipoteza obtinem . Cum pentru avem , urmeaza concluzia.
La 3: . Deci🙂 .
La 1, luand determinanti obtinem .
Apoi, folosind relatia , adunam cantitatea la relatia din ipoteza spre a obtine: . Avand in vedere ca , rezulta ca trebuie ca .
[Recunosc ca am folosit Wolfram Alpha ca sa calculez ca sa ma asigur ca sunt pe drumul cel bun (ca este intr-adevar real).]
Sa observam ca . Mai departe.. incercam sa calculam , sperand sa dam de o forma mai eleganta pentru agument.
Avem . Obtinem din asta ca . De aici, , deci . Dar, stim ca , deci . Atunci . Rezulta ca: . Acest numar e real doar daca .
Nu pricep de unde v-a dat relatia asta .
Avem , deci .
Ok,multumesc mult!Mai urmeaza un set.
Cu drag. La solutia de la prima problema, chiar la sfarsit, am scris gresit ca . Corect era sau .