1.Fie o functie continua astfel incat .
a)Sa se arate ca
b)Ramane rezultatul valabil daca ? (cam greu de zis
2.Fie un sir astfel incat incat .Sa se arate ca sirul este convergent.
3.Fie un numar real si un sir astfel incat si .Sa se calculeze .
Va rog oricare din ele. Pleaseeeeee.
1
a) Ar trebui sa mearga prin reducere la absurd.
b) Contraexemplu, f(x)=1/x
2. Fara incerca pe foaie, pare ca merge sa demonstrezi ca pentru orice m>n.
Puteți să detaliați puțin la 1 a). Nu mă prind cum ar trebui făcută reducerea la absurd. Iar la 2 doar acum am observat că este sir de tip Cauchy .(nu mai am nevoie de rezolvare). Totuși aveți vreo idee cum sa îl fac pe 3?
chiar poate fi (la problema 3) sau e o greseala?
Cerința e scrisă corect ,s-ar putea sa fie un caz particular.
La 3, cateva idei.. :
Prin indcutie se arata ca . Apoi, avem , deci sirul e descrescator. Cum e si marginit inferior (am aratat anterior , inductiv), rezulta ca el e convergent. Fie limita lui. Trecand la limita, obtinem , deci sau . Deoarece .
Daca , limita ceruta e
Daca , iar , avem . Aplicand Cesaro-Stolz, obtinem: .
Daca si .. nu am reusit sa tratez. De asemenea, nu am certitudinea ca ambele cazuri prezentate mai sus pot avea loc, dar nu am reusit sa elimin pe vreunul.
Daca f nu are limita infinit la infinit, atunci exista cel putin un subsir xn care tinde la infinit pt care f(xn) este marginit. Fie L=max{f(xn)}. Insa pe [0,L] f este uniform continua, isi atinge marginile … (asta e din aduceri aminteri de acum 20+ ani). Adica f(f(xn)) este marginit superior. Contradictie.
Daca f nu are limita infinit la infinit, atunci exista cel putin un subsir xn care tinde la infinit pt care f(xn) este marginit. Fie L=max{f(xn)}. Insa pe [0,L] f este uniform continua, isi atinge marginile … (asta e din aduceri aminteri de acum 20+ ani). Adica f(f(xn)) este marginit superior. Contradictie.
Daca f nu are limita infinit la infinit, atunci exista cel putin un subsir xn care tinde la infinit pt care f(xn) este marginit. Fie L=max{f(xn)}. Insa pe [0,L] f este uniform continua, isi atinge marginile … (asta e din aduceri aminteri de acum 20+ ani). Adica f(f(xn)) este marginit superior. Contradictie.
Pare o demonstratie valida. Asteptam sa vedem daca va contrazice cineva.
Mi se pare destul de corect,poate enuntul este gresit .
Thanks la aman2! Mai urmeaza maine un nou set de intrebari. Stay sharp !
O seara faina!
Cu drag. Nu stiu daca e gresit.. sunt insa curios cum s-ar analiza pana la capat (probabil cumva se poate😀 ). Oare care e sursa problemei?
Pentru a<1, se elimină singur, căci un șir de numere strict pozitive nu poate avea o limită
strict negativă, deci rămane doar l=0. În acest caz, mi se pare că se obține
Pentru a=1: .
Wow.. nu mi-am dat seama.😀
Intr-adevar, asa e!! Eu am zis ca la numarator o sa dea limita .. sunt aiurit.
Ce tare! Multumesc pentru rezolvare.
Problema 6 de aici :
Se aplica si pentru mine. Apropos ,va puteti uita putin peste prima problema si sa confirmati daca dl. A_Cristian a rezolvat-o bine. Pentru o problema de nationala,mi se pare cam prea banala rezolvarea. (nu zic ca n-ar fi buna).