1)Fie o functie continua cu proprietatea ca f(0)=f(2). Consideram functia ,g(x)=f(x+1)-f(x).
a)Sa se arate ca g se anuleaza.
b)Sa se demonstrez ca exista un segment AB de lungime 1,paralel cu axa Ox, avand capetele A si B pe graficul functiei f.
2)Fie sirul definit prin x_1=2 si \forall n\geq 2[/tex],a fiind un numar real pozitiv fixat. Demonstrati ca sirul este convergent si apoi calculati limita sa.
3)Fie , doua siruri de numere reale astfel incat x_nx si y_ny, cu |x-y|<1. Sa se demonstreze ca
Ok ,deci la prima cred(doar cred) ca se face cu teorema cresterilor finite(aka teorema lui Lagrange), a doua habar n-am ,iar la a treia nici acolo nu am cea mai vaga idee cum se face.(dar mi se pare interesanta). Va rog oricare dintre ele.
Nu, căci f nu e derivabilă. Se folosește continuitatea, calculând în prealabil g(0)+g(1).
g(0)+g(1) e 0 dar nu prea vad cu ce m-ar putea ajuta .
Folosind aceasta frumoasa idee, avem sau . Aceasta inseamna ca, fie (caz in care avem chiar doua puncte in care se anuleaza), fie si au semne diferite, iar atunci, din continuitatea lui (implicata de cea a lui ), rezulta ca exista cu .
fiind fixat, exista astfel incat (). Pentru , avem atunci, logaritmand relatia data, . Cum , deducem convergent si
Folosind aceasta frumoasa idee, avem sau . Aceasta inseamna ca, fie (caz in care avem chiar doua puncte in care se anuleaza), fie si au semne diferite, iar atunci, din continuitatea lui (implicata de cea a lui ), rezulta ca exista cu .
Nu m-am gandit la asta,mersi mult.
Nu cred ca mai era nevoie de partea asta,avand in vedere ca am mentionat in cerintat ca a este pozitiv.
ii oleaca cam nedeterminare
Nici vorbă.
La problema 3. mizez pe faptul că dacă |x-y|<1, atunci există
Pentru mine limita șirului descris în problemă este 0 pentru că unde:
m este ultimul indice al unui termen care nu intră în vecinatatea a lui x;
k, idem, dar pentru (dar m și k pot fi și 0);
M este cel mai mare dintre cei m+k factori despre care nu sunt sigur că sunt ,
sau 1 dacă m=k=0.
Evident, am scris inegalitatea pentru un n>m+k.
I didn’t see that coming. Thanks a lot.