Salut!
Stiu ca in regulament scrie ca e interzisa ” solicitarea de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-un concurs aflat în derulare. „, in cazul acesta fiind vorba de Gazeta Matematica asa ca daca deranjeaza pe cineva, voi sterge postarea.
Nu particip la acest concurs, m-as bucura doar sa reusesc sa rezolv toate problemele din gazetele recente, doarece la olimpiada locala si judeteana de matematica, unul dintre subiecte este chiar o problema dintr-o gazeta si mi-ar fi de folos sa o pot rezolva astfel in timp util.
Am nevoie de o idee de pornire la urmatoarea problema din Gazeta Matematica nr 11/2017:
Fie numerele complexe nenule astfel incat numerele reale sa aiba acelasi semn, iar z sa verifice egalitatea
Sa se arate ca z este real daca si numai daca |a|=1.
Buna seara,
Din pacate, enuntul pare gresit, pentru ca daca avem, sa zicem, si , atunci egalitatea se verifica pentru orice (cu alese cu parti imaginare potrivite) penru ca, fiind real, .
Ce vreau sa zic e ca exista numere cu proprietatile date si si , deci nu e valabila concluzia.
Eu interpretez că enunțul interzice ca , deci nici un a_i nu poate fi real.
Fie .
. Dacă z nu este real, atunci P se află de aceeași parte a axei Ox cu toate punctele A_k sau cu toate punctele A’_k. Deci toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare. Înseamnă că dacă |a|=1, atunci z este real și reciproc, dacă z este real, toate rapoartele sunt 1.
Nu sunt sigur ca am inteles tot cum trebuie, deci am cateva intrebari, daca nu va suparati:
1) A este de fapt M? Nu este introdusa nicaieri notatia cu A deci am presupus atunci ca e acelasi lucru
2) din , este lungimea segmentului ?
3)
Asta reiese din ” sa aiba acelasi semn „? Mie asta imi sugereaza faptul ca toate punctele se afla pe aceeasi parte a dreptei OX si toate punctele se afla pe cealalta parte a lui OX. Iar daca z nu e real, P nu va fi pe OX, deci va fi ori deasupra lui OX, ori dedesubt.
Dar nu mi-e 100% clar de ce asta ar insemna ca toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare.
Îmi cer scuze că nu am oservat la timp postarea ta cu întrebări. Bănuiesc că între timp ți-ai răspuns singur la ele.😀
Da, ai înțeles bine și scăparea mea de a începe cu M și a continua cu A și cine sunt lungimile
Ține cont că axa Ox este mediatoarea unui segment cum este dacă și P sunt de aceeași parte a axei Ox, înseamnă că piciorul perpendicularei din P pe dreapta este mai apropiat de primul. Când eram mic, profesorul meu insista: dintre 2 oblice față de o dreaptă, duse din același punct P, mai lungă este aceea al cărei picior (de pe dreaptă) este mai depărtat față de piciorul perpendicularei. Drept care, e rândul meu acum să te bat la cap să tragi sigur concluziile: și la fel pentru oricare k.
Multumesc mult, am inteles😀