Admitere - 2016

Probleme deschise, greu sau imposibil de incadrat la o anumita clasa, ale caror enunturi nu sunt luate din manuale si culegeri obisnuite.
mili20
utilizator
utilizator
Mesaje: 2
Membru din: 06 Iul 2017, 15:52

Admitere - 2016

Mesaj de mili20 » 06 Iul 2017, 16:40

Buna ziua. Acesta este o parte dintr-un subiect dat la admitere, la o facultate :D. Majoritatea subpunctelor le-am facut eu, dar nu stiu daca pentru urmatoarele sunt necesare si acestea, asa ca l-am pus cu totul.
-Cele marcate cu x sunt rezolvate. ^^
Ma puteti ajuta?
-Ma scuzati daca am greist categoria, la momentul de fata mi s-a parut ce-a mai potrivita, lul.-

Fie multimea A = {a + ib√3 | a, b ∈ Z}.
(a) Sa se arate c˘a (5 + 2i√3)2 = 13 + 20i√3. (x)
(b) Sa se calculeze |5 + 2i√3| (x)
(c) Sa se arate ca A este parte stabila ın raport cu adunarea si ınmultirea numerelor complexe ¸si A este inel ımpreuna cu aceste operatii. (x)
(d) Daca u, v ∈ A ¸si uv = 5+2i√3, atunci sa se arate ca unul dintre numerele u si v este 1 sau −1.
(e) Sa se determine u ∈ A pentru care u2 = 13 + 8i√3.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Admitere - 2016

Mesaj de Integrator » 07 Iul 2017, 09:10

mili20 scrie:Buna ziua. Acesta este o parte dintr-un subiect dat la admitere, la o facultate :D. Majoritatea subpunctelor le-am facut eu, dar nu stiu daca pentru urmatoarele sunt necesare si acestea, asa ca l-am pus cu totul.
-Cele marcate cu x sunt rezolvate. ^^
Ma puteti ajuta?
-Ma scuzati daca am greist categoria, la momentul de fata mi s-a parut ce-a mai potrivita, lul.-

Fie multimea A = {a + ib√3 | a, b ∈ Z}.
(a) Sa se arate c˘a (5 + 2i√3)2 = 13 + 20i√3. (x)
(b) Sa se calculeze |5 + 2i√3| (x)
(c) Sa se arate ca A este parte stabila ın raport cu adunarea si ınmultirea numerelor complexe ¸si A este inel ımpreuna cu aceste operatii. (x)
(d) Daca u, v ∈ A ¸si uv = 5+2i√3, atunci sa se arate ca unul dintre numerele u si v este 1 sau −1.
(e) Sa se determine u ∈ A pentru care u2 = 13 + 8i√3.
(d) O idee:
Fie si , atunci trebuie ca si făcând calculele rezultă un sistem de ecuatii de unde rezultă valorile întregi ale lui .Se deduce usor că o solutie este si respectiv că sau că si respectiv că dar trebuie să deducem si unicitatea acestor două solutii.Cum deducem unicitatea acestor două solutii?
(e) u2 înseamnă ?Dacă da , atunci rationamentul este urmatorul:
Fie , atunci rezultă un sistem de ecuatii din care rezultă perechile , si respectiv , .

mili20
utilizator
utilizator
Mesaje: 2
Membru din: 06 Iul 2017, 15:52

Mesaj de mili20 » 07 Iul 2017, 09:18

(intr-adevar, era u^2, greseala mea:)) )

Salut, multumesc pentru ajutor si rationamentul bine explicat. :)

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1964
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 07 Iul 2017, 11:27

Fie . Atunci se poate demonstra usor ca .
Fie u si v cele 2 numere care statisfac relatie .
. Cum insa |u|^2 si |v|^2 sunt naturale, atunci unul dintre ele va fi 1 iar celalalt 37. Presupunem ca |u|^2=1 => a^2+3b^2=1=>b=0 si a este +/-1.

Ultimul subpunct chiar iese usor avand un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute, asa cum ti-a fost indicat.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 08 Iul 2017, 10:18

A_Cristian scrie:Fie . Atunci se poate demonstra usor ca .
Fie u si v cele 2 numere care statisfac relatie .
. Cum insa |u|^2 si |v|^2 sunt naturale, atunci unul dintre ele va fi 1 iar celalalt 37. Presupunem ca |u|^2=1 => a^2+3b^2=1=>b=0 si a este +/-1.

Ultimul subpunct chiar iese usor avand un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute, asa cum ti-a fost indicat.
(d) Rationament foarte simplu si elegant!Multumesc foarte mult!Din sistemul de ecuatii rezultat conform rationamentului meu se obtine si de unde este necesar ca deoarece

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj