Rezolvati ecuatia:
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
scuze ca te fac sa crezi ca am raspuns la intrebarea ta.poti sa ma lamuresti si pe mine cum sterg contul? 🙁
Ridicam la patrat si =>
o sa ajungi la : care nu convine
si .
Participi la concursul de anul acesta de la UBB?
Există pericolul ca ecuatia obtinută printr-o ridicare la pătrat să aibă solutii în plus fată de ecuatia dată. Esti sigur că toate
solutiile ecuatiei obtinute de tine verifică si ecuatia initială? Sau, mai simplu, esti sigur că pentru orice solutie găsită suma
din membrul I are acelasi semn cu produsul din membrul II – adică minus?
Intr-adevar, solutiile trebuie verificate in ecuatie. Imi cer scuze pentru ca nu am fost clara si ca nu am dus rezolvarea pana la capat.
=>
1. Pentru =>
Verificare:
=>
Deci
2. Pentru =>
Verificare:
Se arata ca este adevarata si aceasta egalitate.
Daca aveti o alta idee de rezolvare , mi-ar face placere sa o vad .
Nu solutiile acestei ecuatii trebuie verificate, ci ale ecuatiei pe care ai propus-o tu si pe care ai obtinut-o printr-o
ridicare la pătrat: Aceasta dă:
Următoarele 4 solutii particulare se reprezintă în 4 puncte distincte pe cercul trigonometric:
Să verificăm dacă x_0 este solutie pentru ecuatia dată; trebuie să verificăm dacă suma din membrul I si produsul din membrul II
au acelasi semn. Pentru că x_0 se reprezintă în cadranul IV, este evident că produsul
deci x_0 nu este solutie. Analog, x_1 nu este solutie, dar x_2 si x_3 sunt. Se obtine:
care este aceeasi cu cea obtinută de tine.
Da, aveti dreptate . Dar daca as face asa:
=>
Atunci ar fi buna verificarea pe care am facut-o ?
Da, verificările si solutiile găsite de tine sunt bune. Eu am afirmat doar că sunt inutile. Să încerc să mă explic.
O rezolvare „ortodoxă” a ecuatiei presupune să notez cost=x, sint=y
si să rezolv sistemul: (1)
Apoi, pentru fiecare solutie (a, b) a acestui sistem să rezolv sistemul: cost=a; sint=b. Solutia generală a unui asemenea sistem este
, unde t_0 este orice solutie particulară.
Să mai observăm că sistemul (1) este simetric, deci dacă (a, b), cu a, b distincte, este o solutie, atunci si (b, a) este solutie.
Din punct de vedere geometric, a rezolva sistemul (1) înseamnă a afla punctele de intersectie dintre hiperbola echilateră de ecuatie
(x-1)(y-1)=1 cu centrul C(1, 1) si cu dreptele de ecuatii x=1, y=1 ca asimptote si cercul de ecuatie ,
de centru O si rază 1. Un desen corect executat arată că cele două se intersectează exact în 2 puncte, simetrice fată de prima bisectoare.
Practic, se folosesc si substitutiile clasice s si p, care conduc la sistemul ,
apoi la ecuatia
A doua solutie nu convine pentru că nu se încadrează în intervalul
Acum, dacă alegem să rezolvam ecuatia obtinem solutiile tale, bune si verificate!
Dar dacă alegem să rezolvăm ecuatia
obtinem mai multe solutii, dintre care unele nu sunt ale acuatiei date, iar acum nu am făcut nicio ridicare la pătrat!
Să gândim tot geometric pentru a elucida misterul. Când rezolvăm ecuatia
noi rezolvăm de fapt sistemul (2), adică intersectăm cercul cu o dreaptă.
Ori, această dreaptă intersectează cercul exact în aceleasi puncte ca si hiperbola (x-1)(y-1)=1. Deaceea sistemele (1) si (2)
sunt echivalente.
Atunci când rezolvăm ecuatia , rezolvăm de fapt sistemul (3)
adică intersectăm cercul cu o altă hiperbola. Sistemul (3) nu este doar simetric, el este si omogen, deci odată cu solutia
(a, b) el admite si solutiile (b, a), (-a, -b), (-b, -a). Este evident că, dacă primele 2 puncte verifică ecuatia dreptei, celelalte 2 nu,
deci nu se află nici pe prima hiperbolă. Asadar sistemele (1) si (3) nu sunt echivalente.
Va multumesc frumos pentru explicatii!