Daca a,b,c>0 cu 1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1)=2
Demonstrati ca sqrt(a*b) + sqrt(b*c) + sqrt(a*c) <= 3/2
Problema este din gazeta matematica numarul 5/2016 din cate stiu
Am incercat sa inmultesc prima relatie cu(a+1)(b+1)(c+1) si am obtinut ca 2abc +a*b+c*b+c*a = 1 ,dar nu stiu unde as folosi asta
de asemenea,am trecut apoi la inegalitatea mediilor, si am vazut ca
sqrt(a*b) + sqrt(b*c) + sqrt(a*c) <= a+b+c si apoi am incercat sa demonstrez ca a*b+c*b+c*a <= 3/2 dar nici asta nu mi-a iesit.
ma poate ajuta cineva?
multumesc anticipat!
quaintejuser (0)
Salut! Incearca sa te folosesti de inegalitatea mediilor, aici referindu-ma la media aritmetica si geometrica. Aplica pentru a,b, apoi b,c, respectiv a,c. Apoi aduna cele trei relatii si vezi ce obtii. Mai departe, incearca sa stabilesti o legatura cu prima relatie data.
Am inmultit prima relatie cu 3/4 si astfel 2*3/4 =3/2 si am inlocuit 3/2 -ul obtinut cu cel din relatia de demonstrat
Asadar mi-a ramas sa demonstrez
a+b+c <= 3/4 (a+1) + 3/4 (b+1)+3/4 (c+1)
Am scăzut a+b+c si pe a l-am pus langa prima fractie si tot asa, si am obtinutin final restrangeri
0 <=( -(2a+1)^2 +4) / 4*(a+1) + cele 2 analoage
Si daca pun conditia ca fiecare fractie sa fie pozitiva, obtin ca a,b,c<=1/2
Daca cele trei numere sunt egale cu 1/2, se realizeaza cazul de egalitate, deci banuiesc ca am lucrat corect, dar totusi nu e completa rezolvarea
Salut! Frumoasa inegalitate🙂 .
Daca le adunam
Deci
Folosind inegalitatea C-B-S
Multumesc frumos!
Aceasta parte din problema s-a dat si la Olimpiada ieri, dar sub un alt enunt. Rezolvarea ta Lizu m-a ajutat sa fac o parte din ea. Iti multumesc si eu!
Cu placere! Ma bucur ca te-a ajutat.