O functie continua mai speciala

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
thambor
utilizator
utilizator
Mesaje: 98
Membru din: 04 Noi 2016, 15:34

O functie continua mai speciala

Mesaj de thambor » 14 Mar 2017, 12:58

Astazi in clasa am primit urmatorul exercitiu:

determinati functia continua cu proprietatea ca f(2x+1)=f(x),oricare ar fi x din R.
Imi poate explica cineva cum se fac genul acesta de exercitii va rog?

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 14 Mar 2017, 14:03

Uite un model aproape complet.

Se observa ca orice functie constanta satisface conditia data. Cautam sa vedem daca exista o functie ne-constanta care sa verifice proprietatea diferita.
Fie . Construim sirurile .
Este clar ca
Sunt cele 2 siruri (xn, yn) convergente si daca da, care este limita lor?
Cum ne putem folosi mai departe de continuitate?

Intrebari existentiale:
1. De ce am construit cele 2 siruri in acel fel?
2. Care a fost scopul si cum am ajuns la acea formula?

thambor
utilizator
utilizator
Mesaje: 98
Membru din: 04 Noi 2016, 15:34

Mesaj de thambor » 14 Mar 2017, 14:41

Nu prea am inteles cine stie ce.Imi dau seama ca acele siruri sunt formula inversei expresiei 2x-1,dar in rest nu prea mai inteleg.Nu am facut nici un model la clasa ni l-a trantit asa in fata si a zis"ganditiva voi la el",asa ca nu te astepta sa inteleg algoritmul de rezolvare.De asta daca ai putea sa imi scrii pe etape ar fi super.

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 14 Mar 2017, 14:56

Ma intristez de fiecare data cand aud sau citesc: "n-am facut un model la clasa". Pentru rezolvarea dupa sabloane avem calculatoare.

Ai uitat sa ne spui daca sirurile xn si yn sunt convergente, iar in cazul in care sunt, care este limita lor.

Ultima parte se face o celebra "delta-epsilon", sau vecinatati mai concret.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: O functie continua mai speciala

Mesaj de Integrator » 16 Mar 2017, 08:16

thambor scrie:Astazi in clasa am primit urmatorul exercitiu:

determinati functia continua cu proprietatea ca f(2x+1)=f(x),oricare ar fi x din R.
Imi poate explica cineva cum se fac genul acesta de exercitii va rog?
O idee:
Conform teoremei lui Lagrange se poate scrie unde si cum a, atunci rezultă că de unde rezultă cazul care nu corespunde enuntului problemei sau cazul care corespunde enuntului problemei dacă functia este de forma unde este o constantă oarecare deoarce doar pentru această functie derivata pentru orice .

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 16 Mar 2017, 10:43

1. Problema specifica faptul ca functia este continua. Nu stim nimic de derivabilitatea ei, deci nu o putem subintelege.

2. Chiar daca ar fi derivabila, teorema lui Lagrange spune ca exista un punct care satisface proprietatea. Asta nu neaparat inseamna ca derivata e nula peste tot. De exemplu, functiile derivabile periodice au o infinitate de puncte in care iau aceleasi valori (de exemplu f(x)=10+sin(x), f(x)=10 pentru orice multiplu de pi), dar asta nu inseamna ca derivatele lor sunt nule ci doar ca exista o infinitate de puncte in care derivatele se anuleaza.

PS: Pentru x real, inegalitatea x<2x+1 nu este tot timpul adevarata, dar asta nu ar fi impiedicat solutia propusa.

PPS: Am schitat ceea ce cred ca este singura solutie la aceasta problema. Din pacate autorul n-a mai continuat discutia.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 16 Mar 2017, 13:29

A_Cristian scrie:1. Problema specifica faptul ca functia este continua. Nu stim nimic de derivabilitatea ei, deci nu o putem subintelege.

2. Chiar daca ar fi derivabila, teorema lui Lagrange spune ca exista un punct care satisface proprietatea. Asta nu neaparat inseamna ca derivata e nula peste tot. De exemplu, functiile derivabile periodice au o infinitate de puncte in care iau aceleasi valori (de exemplu f(x)=10+sin(x), f(x)=10 pentru orice multiplu de pi), dar asta nu inseamna ca derivatele lor sunt nule ci doar ca exista o infinitate de puncte in care derivatele se anuleaza.

PS: Pentru x real, inegalitatea x<2x+1 nu este tot timpul adevarata, dar asta nu ar fi impiedicat solutia propusa.

PPS: Am schitat ceea ce cred ca este singura solutie la aceasta problema. Din pacate autorul n-a mai continuat discutia.
Aveti dreptate!Trebuia să presupun că functia este si derivabilă urmând ca după aplicarea teoremei lui Lagrange să vedem dacă functia rezultată este continuă si derivabilă pentru orice si cum functia constantă este continuă si derivabilă pentru orice atunci rezultă că este functia căutată.
As dori să stiu ce functii nederivabile dar continue pe R pot respecta enuntul problemei dat de autor. :idea:

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 16 Mar 2017, 13:51

Nu exista functii nederivabile care sa respecte cerinta. Dar derivabilitatea rezulta din faptul ca functia trebuie sa fie constanta.
O problema e mai "tare" daca sunt mai putine restrictii, iar in cazul de fata continuitatea este suficienta.

PS: Tot nu vad o solutie folosind Lagrange (evident, in ipoteza in care se da ca functia este derivabila).

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 16 Mar 2017, 14:12

A_Cristian scrie:Uite un model aproape complet.

Se observa ca orice functie constanta satisface conditia data. Cautam sa vedem daca exista o functie ne-constanta care sa verifice proprietatea diferita.
Fie . Construim sirurile .
Este clar ca
Sunt cele 2 siruri (xn, yn) convergente si daca da, care este limita lor?
Cum ne putem folosi mai departe de continuitate?

Intrebari existentiale:
1. De ce am construit cele 2 siruri in acel fel?
2. Care a fost scopul si cum am ajuns la acea formula?
Cele două siruri sunt convergente.
Functia fiind continuă rezultă că cele două siruri sunt convergente indiferent de valorile lui iar limita este egală cu .
1. si 2. Ati plecat de la deoarece se intuieste oarecum că dacă atunci în mod evident ar rezulta .

Încă nu înteleg care este continuarea rationamentului Dvs.... :idea:

Cu stimă,

Integrator

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 16 Mar 2017, 14:55

Aminteam intr-un al post finalizarea:
Ultima parte se face cu celebra "delta-epsilon", sau vecinatati mai concret.
.

Cum f este continua inseamna ca pentru un delta bine ales (de exemplu |f(a)-f(b)|/2), exista un epsilon>0 astfel incat |f(x)-f(-1)|<delta pentru orice x care satisface |x-(-1)|<epsilon. Insa pentru orice vecintate a lui -1, vom gasi un n de la care xn si yn sunt fac parte din vecinatate.

Astfel avem |f(xn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|/2 si |f(yn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|/2 => |f(xn)-f(-1)|+|f(yn)-f(-1)| <|f(a)-f(b)|.

Dar |a-b|<=|a-c|+|c-b| pentru orice a,b,c reale (sau chiar complexe).

|f(a)-f(b)| < |f(a)-f(-1)|+|f(b)-f(-1)|=|f(xn)-f(-1)|+|f(yn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|.
Contradictie.

PS: Am schimbat niste notatii si sper ca n-am uitat ceva undeva.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 17 Mar 2017, 08:57

A_Cristian scrie:Aminteam intr-un al post finalizarea:
Ultima parte se face cu celebra "delta-epsilon", sau vecinatati mai concret.
.

Cum f este continua inseamna ca pentru un delta bine ales (de exemplu |f(a)-f(b)|/2), exista un epsilon>0 astfel incat |f(x)-f(-1)|<delta pentru orice x care satisface |x-(-1)|<epsilon. Insa pentru orice vecintate a lui -1, vom gasi un n de la care xn si yn sunt fac parte din vecinatate.

Astfel avem |f(xn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|/2 si |f(yn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|/2 => |f(xn)-f(-1)|+|f(yn)-f(-1)| <|f(a)-f(b)|.

Dar |a-b|<=|a-c|+|c-b| pentru orice a,b,c reale (sau chiar complexe).

|f(a)-f(b)| < |f(a)-f(-1)|+|f(b)-f(-1)|=|f(xn)-f(-1)|+|f(yn)-f(-1)|<|f(a)-f(b)|.
Contradictie.

PS: Am schimbat niste notatii si sper ca n-am uitat ceva undeva.
Nu vă supărati dar această demonstratie nu cred că duce la concluzia că functia continuă este doar functia constantă stiind că respectă conditia pentru orice .Conform demonstratiei "delta-epsilon" , dată de Dvs. , în cazul functiei constante ar rezulta si ceea ce nu este corect.....
Elevul care a cerut ajutorul este îndreptătit să spună că nu a înteles rationamentul Dvs. pe care încercati să-l faceti interactiv adică pas cu pas si sincer vă spun că nici eu nu înteleg rationamentul Dvs..
V-as ruga ,dacă sunteti amabil, să dati o rezolvare completă a acestei probleme astfel încât să ne lămurim definitiv cu modul de rezolvare a acestor tipuri de probleme....De exemplu cum ati rezolva Dvs. problema:
"Să se găsească functia stiind că pentro orice ."?
---------------------------------------
Nu stiu dacă la clasa XI-a se fac ecuatii functionale deoarece ecuatia este de fapt o ecuatie functională.

Cu stimă,

Integrator
Ultima oară modificat 17 Mar 2017, 09:43 de către Integrator, modificat 1 dată în total.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 17 Mar 2017, 09:20

A_Cristian scrie:1. Problema specifica faptul ca functia este continua. Nu stim nimic de derivabilitatea ei, deci nu o putem subintelege.
PS: Pentru x real, inegalitatea x<2x+1 nu este tot timpul adevarata, dar asta nu ar fi impiedicat solutia propusa.
Este clar functia trebuie să fie derivabilă....
În cazul în care scriem unde si evident .
Stiind că se mai poate scrie conform aceleiasi teoreme a lui Lagrange (care cred că se face în clasa XI-a) că unde si evident .
Astfel practic pentru orice rezultă că functia căutată este doar functia constantă.
---------------
Eu nu văd altă rezolvare decât cu ajutorul teoremei lui Lagrange.... :roll:

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 17 Mar 2017, 10:20

1. In partea a doua incercam sa gasim o functie neconstanta si ajungem la o contradictie. Asta inseamna ca presupunerea facuta este falsa.
In cazul rezolvarilor prin metoda reducerii la absurd, nu conteaza ce fel de contradictie este gasita.

2. Metoda delta-epsilon are conditia ca delta>0. Tocmai de aia se poate lua delta=|f(a)-f(b)|/2 in cazul presupunerii ca exista f(a)<>f(b). Evident nu se poate aplica pentru functia constanta.

Sper ca 1. si 2. sa fi inlaturat ultimele neclaritati pe care le aveati asupra solutiei.

3. V-am spus intr-un alt post ca luand functia f(x)=10+sin(x), stim ca f(k*pi)=10. Inseamnca ca f'(x)=0 pentru orice x?! Teorema lui Lagrange ne spune ca exista un punct in care derivata se anuleaza (evident, in cazul de fata, nu la modul general). Asta nu inseamna ca derivata se anuleaza pe tot invervalul. Translatand la cazul nostru, rezulta ca avem un punct in care derivata se anuleaza intre x si 2x+1.
Sunt curios cum demonstrati teorema lui Cauchy.

4. In matematica nu este acceptata fraza "este clar ca" decat daca are o sustinere logica sau este o axioma.
Pe vremea grecilor antici era clar ca exista doar numere rationale. Sa se fi inselat oare acei matematicieni?

5. Asa cum ati redactat problema, nu cred ca se pot gasi toate functiile. Uitati un exemplu care cred ca este corect. Fie f(x)=0 pentru orice x algebric si f(x)=c pentru orice x transcendent. Am subliniat o parte esentiala (pe care de altfel n-am demonstrat-o si posibil sa n-o pot demonstra).
Oricum, se pot gasi functii mai simple, necontinue care nu sunt constante.
Pe de alta parte, nu cred ca stiu sa rezolv problema in conditiile in care f este continua.

LE: Aparent exisa o infinitate de functii continue care respecta conditia data. Este usor de demonstrat ca functia este para, asa ca ma voi concentra doar pe intervalul [0,inf). Plecand de la orice functie g:[0,1] continua cu g(0)=g(1) se poate construi usor un f care sa respecte cerinta.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 17 Mar 2017, 21:07

A_Cristian scrie:1. In partea a doua incercam sa gasim o functie neconstanta si ajungem la o contradictie. Asta inseamna ca presupunerea facuta este falsa.
In cazul rezolvarilor prin metoda reducerii la absurd, nu conteaza ce fel de contradictie este gasita.

2. Metoda delta-epsilon are conditia ca delta>0. Tocmai de aia se poate lua delta=|f(a)-f(b)|/2 in cazul presupunerii ca exista f(a)<>f(b). Evident nu se poate aplica pentru functia constanta.

Sper ca 1. si 2. sa fi inlaturat ultimele neclaritati pe care le aveati asupra solutiei.

3. V-am spus intr-un alt post ca luand functia f(x)=10+sin(x), stim ca f(k*pi)=10. Inseamnca ca f'(x)=0 pentru orice x?! Teorema lui Lagrange ne spune ca exista un punct in care derivata se anuleaza (evident, in cazul de fata, nu la modul general). Asta nu inseamna ca derivata se anuleaza pe tot invervalul. Translatand la cazul nostru, rezulta ca avem un punct in care derivata se anuleaza intre x si 2x+1.
Sunt curios cum demonstrati teorema lui Cauchy.

4. In matematica nu este acceptata fraza "este clar ca" decat daca are o sustinere logica sau este o axioma.
Pe vremea grecilor antici era clar ca exista doar numere rationale. Sa se fi inselat oare acei matematicieni?

5. Asa cum ati redactat problema, nu cred ca se pot gasi toate functiile. Uitati un exemplu care cred ca este corect. Fie f(x)=0 pentru orice x algebric si f(x)=c pentru orice x transcendent. Am subliniat o parte esentiala (pe care de altfel n-am demonstrat-o si posibil sa n-o pot demonstra).
Oricum, se pot gasi functii mai simple, necontinue care nu sunt constante.
Pe de alta parte, nu cred ca stiu sa rezolv problema in conditiile in care f este continua.

LE: Aparent exisa o infinitate de functii continue care respecta conditia data. Este usor de demonstrat ca functia este para, asa ca ma voi concentra doar pe intervalul [0,inf). Plecand de la orice functie g:[0,1] continua cu g(0)=g(1) se poate construi usor un f care sa respecte cerinta.
1. si 2. Acest mod de demonstratie nu mi se pare rezonabil...Faptul că metoda "delta-epsilon" nu este aplicabilă pentru functia constantă nu rezolvă în mod clar problema mai ales că Dvs. folositi f(-1) care nu înteleg de unde l-ati luat..De ce nu ati lua f(-1000)?!
As dori o demonstratie că functia trebuie neapărat să fie constantă si faptul că pentru functia constantă nu se poate aplica metoda Dvs,atunci asta înseamnă că trebuie folosită o altă metodă ,iar eu am presupus că functia este derivabilă ceea ce a condus cu ajutorul teoremei lui Lagrange la faptul că functia căutată este numai si numai functia constantă si aceasta este fără discutie continuă si derivabilă pentru orice x real.
Nu-mi este clar rationamentul Dvs....
3. Pentru f(x)=10+sinx rezultă conform relatiei din problemă că f(2x+1)=10+sin(2x+1)=10+sinx de unde rezultă o ecuatie trigonometrică care are o infinitate de solutii si deci nu este valabilă pentru orice x real ori problema cere să găsim o functie care să respecte relatia f(2x+1)=f(x) pentru orice x real...Chiar pentru functia dată de Dvs care este continuă si derivabilă pe R rezultă conform teoremei lui Lagrange că este absolut necesar ca f'(c)=0 pentru ca f(2x+1)-f(x)=sin(2x+1)-sinx=(x+1)cos(c)=0 care nu este valabilă pentru orice x real si nici pentru orice valoare a lui c....
Demonstratia lui Cauchy o găsiti pe internet....
http://ro.math.wikia.com/wiki/Teorema_d ... lui_Cauchy
4. Putem spune că este clar că functia constantă este (axiomatic vorbind) o functie care respectă conditia f(2x+1)=f(x) pentru orice x real si tocmai de aceea cu teorema lui Lagrange demonstrăm tocmai faptul că nicio altă functie (alta decât functia constanta) nu respectă f(2x+1)=f(x) pentru orice x real.
5. Cum credeti Dvs. că ar trebui redactată problema propusă de mine?După ce veti da un alt enunt problemei propuse de mine as dori să dati si rezolvarea.Multumesc!

Cu stimă,

Integrator

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 17 Mar 2017, 21:51

Ca si la alte probleme, mai fac o ultima incercare. Din pacate ati ajuns din nou la o logica franta si continuati sa postati aiurea.

1. Pentru functia constanta nu este nevoie sa demonstram nimic. Orice functie constanta satisface cerinta data.

2. Presupunem ca exista o functie neconstanta care ar satisface cerinta data. Deci exista a si b astfel incat f(a)<>f(b). Construim cele 2 siruri precizate. Acele siruri au limita -1. Functia trebuie sa fie continua in -1. Folosind continuitatea in -1 a functiei vom arata ca ajungem la o contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa.
Cum demonstram acest lucru:
a. luam un delta convenabil = |f(a)-f(b)|/2 (pentru ca teoria spune ca acest lucru este adevarat pentru orice delta ales) si deci exista un epsilon pentru care |f(x)-f(-1)|<delta pentru orice x din (-1-epsilon, -1+epsilon)
b. pentru xn si yn au limita -1, pentru orice epsilon exista un n de la care amandoua sirurile sunt incluse in vecintatea lui -1
c. folosind "propritatea triunghiului" ajungem la o contradictie.

Sper ca nu mai aveti nelamuriri acum.

3. Dumneavoastra spuneti ca din Lagrange reiese ca derivata este nula peste tot. Eu acest lucru il contrazic. Lagrange ne spune doar ca exista un punct cu o anumita proprietate.
Functia data de mine f(x)=10+sin(x) nu are legatura cu problema data ci este un contraexemplu la concluzia pe care o trageti.

Nu v-am cerut un link catre demonstratia lui Cauchy. Am cerut o rezolvare. O rezolvare gresita ar fi sa spunem ca aplicam de 2 ori Lagrange si demonstram Cauchy.

4. Da, sunt de acord ca este clar (a se citi banal) ca o functie constanta respecta conditia si chiar este derivabila. Insa o functie neconstanta nu mai stim daca este derivabila. Aici apare o alta frantura de logica.

5. Tocmai v-am spus ca putem plecand de la o functie continua g:[0,1]->R, care respecta g(0)=g(1), putem construi sintentic o functie f care sa respecte cerinta data. Asta nu inseamna ca vom descoperi toate functiile. Asadar problema nu are o solutie anume.

PS: Va rog apelati la cineva in care aveti incredere ca demonstreaza corect problema initiala.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 18 Mar 2017, 08:56

A_Cristian scrie:Ca si la alte probleme, mai fac o ultima incercare. Din pacate ati ajuns din nou la o logica franta si continuati sa postati aiurea.

1. Pentru functia constanta nu este nevoie sa demonstram nimic. Orice functie constanta satisface cerinta data.

2. Presupunem ca exista o functie neconstanta care ar satisface cerinta data. Deci exista a si b astfel incat f(a)<>f(b). Construim cele 2 siruri precizate. Acele siruri au limita -1. Functia trebuie sa fie continua in -1. Folosind continuitatea in -1 a functiei vom arata ca ajungem la o contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa.
Cum demonstram acest lucru:
a. luam un delta convenabil = |f(a)-f(b)|/2 (pentru ca teoria spune ca acest lucru este adevarat pentru orice delta ales) si deci exista un epsilon pentru care |f(x)-f(-1)|<delta pentru orice x din (-1-epsilon, -1+epsilon)
b. pentru xn si yn au limita -1, pentru orice epsilon exista un n de la care amandoua sirurile sunt incluse in vecintatea lui -1
c. folosind "propritatea triunghiului" ajungem la o contradictie.

Sper ca nu mai aveti nelamuriri acum.

3. Dumneavoastra spuneti ca din Lagrange reiese ca derivata este nula peste tot. Eu acest lucru il contrazic. Lagrange ne spune doar ca exista un punct cu o anumita proprietate.
Functia data de mine f(x)=10+sin(x) nu are legatura cu problema data ci este un contraexemplu la concluzia pe care o trageti.

Nu v-am cerut un link catre demonstratia lui Cauchy. Am cerut o rezolvare. O rezolvare gresita ar fi sa spunem ca aplicam de 2 ori Lagrange si demonstram Cauchy.

4. Da, sunt de acord ca este clar (a se citi banal) ca o functie constanta respecta conditia si chiar este derivabila. Insa o functie neconstanta nu mai stim daca este derivabila. Aici apare o alta frantura de logica.

5. Tocmai v-am spus ca putem plecand de la o functie continua g:[0,1]->R, care respecta g(0)=g(1), putem construi sintentic o functie f care sa respecte cerinta data. Asta nu inseamna ca vom descoperi toate functiile. Asadar problema nu are o solutie anume.

PS: Va rog apelati la cineva in care aveti incredere ca demonstreaza corect problema initiala.
Adevărul este că majoritatea elevilor nu înteleg ceea ce încercati să explicati prin metoda Dvs. interactivă pe care o folositi în mod abuziv ,mai mult îi obosesc si de aceea acesti elevi se lasă păgubasi si nu mai dialogheaza cu Dvs...Nu aveti calităti de pedagog....mai ales că nu de putine ori jigniti pe interlocutori fără să aveti un motiv plauzibil...Faptul că ati fost la olimpiade de matematică nu înseamnă că trebuie să fiti arogant.....
1. Prin simpla observare ,functia constantă rezultă că este o solutie tot asa cum prin observatie ecuatia are o solutie reală usor de intuit pentru cei care cunosc cât de cât modul de rezolvare a unor atfel de ecuatii...dar asta nu ne poate spune câte solutii reale are ecuatia...Cum putem stabili fără a rezolva ecuatia să stabilim numărul solutiilor reale?
Prin intuitie si observare deducem că functia constantă din problemă este o solutie.
2. si 3. Dacă prin metoda "delta-epsilon" nu rezultă solutia generală care ar trebui să arate că doar functia constantă este solutia atunci acea metodă nu este bună si/sau este incompletă...Singura metodă bună si completă este doar aceea care foloseste în acest caz teorema Lui Lagrange.
3. Nu m-ati lămurit de loc... Eu văd că mi-ati cerut demonstratia teoremei lui Cauchy......
4. Functia ,dată de Dvs., f(x)=10+sinx este o functie continuă si derivabilă pe R si ca atare cu teorema lui Lagrange demonstrăm că această functie nu respectă conditiile din problema propusă de autor în poastarea initială...
5. După ce veti rezolva problema:
"Să se găsească functia definită pe R si cu valori în R stiind că pentru orice ." , atunci vom mai vorbi despre metoda de rezolvare corectă si deci completă....

--------------------------

Am să întreb un profesor...

Toate cele bune,

Integrator

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 18 Mar 2017, 09:52

Integrator scrie:
1. De unde ati tras concluzia ca majoritatea elevilor nu inteleg?
2. De ce o metoda interactiva este abuziva?
3. Credeti cu tarie in autoritatea suprema care sta la catedra si preda sau rezolva probleme?
4. Va rog sa-mi aratati unde am jignit.
5. Aveti o atitudine de atot-stiutor si nu acceptati ca gresiti. Va pot da multe exemple de pe forum in care eu am recunoscut ca am facut greseli. Va pot da in acelasi timp o cantitate la fel de mare in care persistati in greseala. Ce conteaza ca unii au luat premii la nationala sau cu altii sunt profesori universitari, dumneavoastra stiti mai bine decat toti la un loc.
6. Da, sunt elevi care detesta metoda mea. Dar asta pentru ca pe ei ii intereseaza rezolvarea pentru o tema si nu sa inteleaga principiul. Oamenii nu sunt calculatoare sa aplice un algoritm. Acesta este si motiv pentru care sunt extrem de trist cand se apeleaza la fraze "nu am facut acest model la scoala". Invatarea mecanica inseamna stagnarea mintii.
Integrator scrie:
7. Aroganta doar acum vine. Nu doar ca am fost la olimpiade, ci am luat si ceva premii la nationala. Asta imi permite sa stiu cand gresesc, sa stiu cand sa incerc sa propun o rezolvare sau cand sa abtin din lipsa de cunostinte.
Integrator scrie:
8. Ce treaba are cu problema data?
Integrator scrie:
9. Va rog sa va uitati peste metoda reducerii la absurd. Criteriul de continuitate a fost folosit pentru a demonstra ca nu exista functii neconstante care sa respecte cerinta.
Integrator scrie:
10. Evitati un raspuns la o intrebare pe care v-am pus-o de atatea ori. Hai sa ne situam in contextul in care functia este derivabila. De unde rezulta ca derivata este nula peste tot? Lagrange aplicat la problema de fata ne spune doar ca pentru orice x, exista un c cuprins intre x si 2x+1, astfel incat f'(c)=0, pentru orice x real. Este o mare diferenta dintre "exista un punct ..." si "derivata este nula pentru toate punctele ..."
Integrator scrie:
11. Aplicand principiul dumneavoastra de la rezolvarea propusa, rezulta ca derivata este nula pe orice interval [k*pi, (k+1)*pi]. Deci functia f(x)=10+sin(x) este constanta.
Integrator scrie:
12. Tocmai v-am spus ca nu exista o formula generala. Daca exista, va rog sa demonstrati. Eu v-am propus deja o familie de functii, plus inca o functie mai interesanta si care nu e nici macar continua.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 18 Mar 2017, 16:45

A_Cristian scrie:
Integrator scrie: Adevărul este că majoritatea elevilor nu înteleg ceea ce încercati să explicati prin metoda Dvs. interactivă pe care o folositi în mod abuziv ,mai mult îi obosesc si de aceea acesti elevi se lasă păgubasi si nu mai dialogheaza cu Dvs...Nu aveti calităti de pedagog....mai ales că nu de putine ori jigniti pe interlocutori fără să aveti un motiv plauzibil...
1. De unde ati tras concluzia ca majoritatea elevilor nu inteleg?
2. De ce o metoda interactiva este abuziva?
3. Credeti cu tarie in autoritatea suprema care sta la catedra si preda sau rezolva probleme?
4. Va rog sa-mi aratati unde am jignit.
5. Aveti o atitudine de atot-stiutor si nu acceptati ca gresiti. Va pot da multe exemple de pe forum in care eu am recunoscut ca am facut greseli. Va pot da in acelasi timp o cantitate la fel de mare in care persistati in greseala. Ce conteaza ca unii au luat premii la nationala sau cu altii sunt profesori universitari, dumneavoastra stiti mai bine decat toti la un loc.
6. Da, sunt elevi care detesta metoda mea. Dar asta pentru ca pe ei ii intereseaza rezolvarea pentru o tema si nu sa inteleaga principiul. Oamenii nu sunt calculatoare sa aplice un algoritm. Acesta este si motiv pentru care sunt extrem de trist cand se apeleaza la fraze "nu am facut acest model la scoala". Invatarea mecanica inseamna stagnarea mintii.
Integrator scrie:Faptul că ati fost la olimpiade de matematică nu înseamnă că trebuie să fiti arogant.....
7. Aroganta doar acum vine. Nu doar ca am fost la olimpiade, ci am luat si ceva premii la nationala. Asta imi permite sa stiu cand gresesc, sa stiu cand sa incerc sa propun o rezolvare sau cand sa abtin din lipsa de cunostinte.
Integrator scrie: 1. Prin simpla observare ,functia constantă rezultă că este o solutie tot asa cum prin observatie ecuatia are o solutie reală usor de intuit pentru cei care cunosc cât de cât modul de rezolvare a unor atfel de ecuatii...dar asta nu ne poate spune câte solutii reale are ecuatia...Cum putem stabili fără a rezolva ecuatia să stabilim numărul solutiilor reale?
8. Ce treaba are cu problema data?
Integrator scrie:2. si 3. Dacă prin metoda "delta-epsilon" nu rezultă solutia generală care ar trebui să arate că doar functia constantă este solutia atunci acea metodă nu este bună si/sau este incompletă...
9. Va rog sa va uitati peste metoda reducerii la absurd. Criteriul de continuitate a fost folosit pentru a demonstra ca nu exista functii neconstante care sa respecte cerinta.
Integrator scrie:Singura metodă bună si completă este doar aceea care foloseste în acest caz teorema Lui Lagrange.
10. Evitati un raspuns la o intrebare pe care v-am pus-o de atatea ori. Hai sa ne situam in contextul in care functia este derivabila. De unde rezulta ca derivata este nula peste tot? Lagrange aplicat la problema de fata ne spune doar ca pentru orice x, exista un c cuprins intre x si 2x+1, astfel incat f'(c)=0, pentru orice x real. Este o mare diferenta dintre "exista un punct ..." si "derivata este nula pentru toate punctele ..."
Integrator scrie:4. Functia ,dată de Dvs., f(x)=10+sinx este o functie continuă si derivabilă pe R si ca atare cu teorema lui Lagrange demonstrăm că această functie nu respectă conditiile din problema propusă de autor în poastarea initială...
11. Aplicand principiul dumneavoastra de la rezolvarea propusa, rezulta ca derivata este nula pe orice interval [k*pi, (k+1)*pi]. Deci functia f(x)=10+sin(x) este constanta.
Integrator scrie:5. După ce veti rezolva problema:
"Să se găsească functia definită pe R si cu valori în R stiind că pentru orice ." , atunci vom mai vorbi despre metoda de rezolvare corectă si deci completă....
12. Tocmai v-am spus ca nu exista o formula generala. Daca exista, va rog sa demonstrati. Eu v-am propus deja o familie de functii, plus inca o functie mai interesanta si care nu e nici macar continua.
1. Pentru că am observat că multi nici nu mai dialoghează pe acelasi subiect asa cum de altfel se întâmplă chiar si la acest subiect când autorul refuză să mai ceară lămuriri........
2. Metoda interactivă este foarte bună dar devine extrem de ineficace atunci când cel care o impune abuziv nu găseste si alte căi de îndrumare care să ducă în final la rezolvarea completă si corectă a unei probleme.Nu oricine poate fi pedagog...Prima calitate a unui pedagog este aceea de a avea răbdare cu toti cei care sunt învătăcei ,adică să atragă pe învătăcel spre domeniul pe care el este doritor al întelege.
3. Autoritatea unui profesor întelept se construieste de el însusi prin modul său de comportament si prin mult tact pedagogic.
4. Ce înseamnă a posta aiurea???
5. Nici un om nu este atotstiutor, deci nici eu dar am cunoscut multi care cu arogantă considerau că stiu totul...Din păcate am întâlnit profesori doctori în matematică care spuneau că este aberantă inecuatia unde .Am întâlnit ,din păcate,profesori de matematică si ingineri care nu stiau cât fac si nici cât fac ...
6. Se pare că nu numai elevii învată mecanic....si învată mecanic deoarece asa îi învată din păcate multi profesori si impunerea unei programe scolare prea încărcată si care încarcă memoria bietilor copii aflati în crestere încă....ca să nu mai spunem că într-o clasă sunt 35-40 de elevi când ar trbui să fie 8-12 elevi asta dacă se vrea a se face carte la un nivel cât mai ridicat...
7. Ati fost si la O.I.M.?Programul "WolframAlpha" greseste vreodată?
8. Cum putem afla dacă o ecuatie polinomială de un anumit grad are sau nu o solutie în multimea numerelor întregi?În mod asemănător putem determina cam ce solutii ar putea avea o ecuatie functională si în cazul problemei de la postarea initială este evident că este functia constantă dar pentru a afla toate functiile trebuie să folosim o metodă care este valabilă în modul general iarDvs, fiind atotstiutor nu ati lămurit nici elevul autor si nici pe mine cu metoda "delta-epsilon"...
9. O metodă care nu este generală nu cred că este o metodă bună...Vă rog arătati-mi cu o altă metodă generală (alta decât cea de folosire a teoremei lui Lagrange) că functia constantă este singura solutie a acelei ecuatii functionale...asta dacă vă considerati atât de bun la matematică..Dacă cineva nu întelege atunci ar trebui să găsiti o altă metodă ca acel cineva să înteleagă în final în mod corect si complet rezolvarea unei probleme...
10. Nu am evitat nimic....Deoarece intervalul este (x,2x+1) pentru x>=0 sau (2x+1,x) pentru x<=0 atunci înseamnă că pentru orice x real teorema lui Lagrange ne oferă ca solutie a acelei ecuatii functionale doar functia constantă.
11. Trageti concluzii gresite ca să nu spun că postati de-aiurea deoarece din aplicarea teoremei lui Lagrange pentru functia f(x)=10+sinx rezultă că trebuie ca (x+1)cos(c)=0 care nu este valabilă pentru orice x real asa cum de altfel v-am mai spus într-o postare anterioară...si deci functia f(x)=10+sinx nu este o solutie a ecuatiei functionale f(2x+1)=f(x).
12. De ce nu răspundeti la intrebarea privind redactarea problemei propusă de mine?Cum ati redacta Dvs. problema referitoare la ?
Conform teoremei lui Lagrange functia căutată este tot functia constantă.

Toate cele bune,

Integrator
Ultima oară modificat 18 Mar 2017, 17:49 de către Integrator, modificat 1 dată în total.

A_Cristian
guru
guru
Mesaje: 1974
Membru din: 23 Feb 2015, 17:15

Mesaj de A_Cristian » 18 Mar 2017, 17:37

Integrator scrie:
Nu ma intereseaza astfel de elevi. A fost un singur caz care a zis ca se duce pe alt forum. Rolul meu pe acest forum nu este de a rezolva probleme, ci de a face alte persoane sa inteleaga diferenta dintre aplicarea unui algoritm si intelegerea algoritmului.
Acesta este motivul pentru care foarte rar raspund la probleme banale. Eu incerc sa raspund la probleme medii spre grele.
Integrator scrie:
Nu poti forta pe nimeni sa fac ceva, mai ales pe un forum. Asa ca nu vad ce anume ar putea fi abuziv.
Integrator scrie:
Fara sens si fara sa fi inteles argumentele aduse.
De exemplu, v-am zis de cateva ori ca functia propusa de mine, f(x)=10+sin(x) nu are de-a face cu problema initiala, ci doar vreau sa inteleg cum aplicati Lagrange pentru aceasta functie.
Integrator scrie:
Ma abtin sa ma pronunt la partea cu inecuatia. Stiu ca ati postat-o si aici.
Integrator scrie:
Aici sunt de acord cu dumneavoastra. Este dureros cand un profesor impune singura metoda pe care o stie sau uneori pe care crede ca o stie. De aici si confuzia multor elevi ca matematica inseamna a face calcule dupa un algoritm bine stabilit.
A fost un olimpic roman care a spus ca "matematica" facuta in scoala este urata si nu asta este adevarata latura a matematicii.
Integrator scrie:
Nu, n-am trecut de baraj pentru a intra in lotul largit.
Da, WolframAlpha mai si greseste pentru ca este construit sa gaseasca solutii sintetice si nu analitice. Exemplul dumneavoastra este deja celebru. Din pacate dumneavoastra credeti ca noi toti ceilalti nu intelegem, iar WolframAlpha este infailibil.
Ca programator, tin sa va spun ca nu exista program serios fara defecte sau limitari. Au explodat ele rachete (cautati Ariane 5), unde testarea este crunta si dumneavoastra credeti ca WolframAlpha este Dumnezeu.
Integrator scrie:
Exista teorie pentru asta. Solutiile intregi se afla printre divizorii termenului liber. Lucru pe care un copil de-a 6-a mai rasarit l-ar putea demonstra.
Integrator scrie:
Eu tocmai mi-am declinat aceasta calitate de atotstiutor si am afirmat 2 lucruri:
- au fost cazuri in care am gresit si am recunoscut asta
- sunt probleme la care nu raspund pentru ca ma depasesc.
Daca sunteti serios cu metoda de rezolvare "delta-epsilon", putem incerca o alta abordare, in care eu afirm ceva, iar dumneavoastra spuneti daca ceea ce am spus este corect sau nu. Evident, vom face un topic de 50 de posturi.
Integrator scrie:
Am demonstrat deja asta. Mai mult, afirm ca nu se poate demonstra cu Lagrange.
Integrator scrie:
Inca o data, din Lagrange aflam ca pentru orice interval (x,2x+1) pentru x>=0 sau (2x+1,x) pentru x<=0, avem cel putin un punct in care derivata se anuleaza. Asta nu inseamna ca derivata este nula peste tot acel interval.
Integrator scrie:
Am incercat sa aplic ceea ce am inteles eu ca propuneti cu rezolvarea folosind teorema lui Lagrange. Si da, este o aberatie, dar am sperat sa va fac sa intelegeti unde ati gresti in logica de la 9.
Functia data de mine nu se vrea solutie pentru problema initiala. Deja am afirmat de mai multe ori ca singura solutie este functia constanta.
Integrator scrie:
V-am raspuns deja de mai multe ori la intrebare.
- v-am dat exemplu de functie necontinua care respecta cerinta data. Dar se poate construi una si mai usoara.
- v-am spus ca pentru orice g:[0,1]->R, continua, cu g(0)=g(1), putem construi o functie f continua care respecta cerinta data.
- in general cand propui o problema, trebuie sa ai si rezolvarea ei. altfel se numeste conjectura sau problema deschisa. Asadar, nu pot sa formulez problema.

Fie sirul .
Atunci functia:

respecta cerinta data. Va rog sa-mi demonstrati contrariul.

Integrator
guru
guru
Mesaje: 1554
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Mesaj de Integrator » 18 Mar 2017, 18:57

A_Cristian scrie:
Integrator scrie:1. Pentru că am observat că multi nici nu mai dialoghează pe acelasi subiect asa cum de altfel se întâmplă chiar si la acest subiect când autorul refuză să mai ceară lămuriri........
Nu ma intereseaza astfel de elevi. A fost un singur caz care a zis ca se duce pe alt forum. Rolul meu pe acest forum nu este de a rezolva probleme, ci de a face alte persoane sa inteleaga diferenta dintre aplicarea unui algoritm si intelegerea algoritmului.
Acesta este motivul pentru care foarte rar raspund la probleme banale. Eu incerc sa raspund la probleme medii spre grele.
Integrator scrie: 2. Metoda interactivă este foarte bună dar devine extrem de ineficace atunci când cel care o impune abuziv nu găseste si alte căi de îndrumare care să ducă în final la rezolvarea completă si corectă a unei probleme.Nu oricine poate fi pedagog...Prima calitate a unui pedagog este aceea de a avea răbdare cu toti cei care sunt învătăcei ,adică să atragă pe învătăcel spre domeniul pe care el este doritor al întelege.
Nu poti forta pe nimeni sa fac ceva, mai ales pe un forum. Asa ca nu vad ce anume ar putea fi abuziv.
Integrator scrie: 4. Ce înseamnă a posta aiurea???
Fara sens si fara sa fi inteles argumentele aduse.
De exemplu, v-am zis de cateva ori ca functia propusa de mine, f(x)=10+sin(x) nu are de-a face cu problema initiala, ci doar vreau sa inteleg cum aplicati Lagrange pentru aceasta functie.
Integrator scrie: 5. Nici un om nu este atotstiutor, deci nici eu dar am cunoscut multi care cu arogantă considerau că stiu totul...Din păcate am întâlnit profesori doctor în matemaică care spuneau că este aberantă inecuatia .Am întâlnit ,din păcate,profesori de matematică si ingineri care nu stiau cât fac si nici cât fac ...
Ma abtin sa ma pronunt la partea cu inecuatia. Stiu ca ati postat-o si aici.
Integrator scrie: 6. Se pare că nu numai elevii învată mecanic....si învată mecanic deoarece asa îi învată din păcate multi profesori si impunerea unei programe scolare prea încărcată si care încarcă memoria bietilor copii aflati în crestere încă....ca să nu mai spunem că într-o clasă sunt 35-40 de elevi când ar trbui să fie 8-12 elevi asta dacă se vrea a se face carte la un nivel cât mai ridicat...
Aici sunt de acord cu dumneavoastra. Este dureros cand un profesor impune singura metoda pe care o stie sau uneori pe care crede ca o stie. De aici si confuzia multor elevi ca matematica inseamna a face calcule dupa un algoritm bine stabilit.
A fost un olimpic roman care a spus ca "matematica" facuta in scoala este urata si nu asta este adevarata latura a matematicii.
Integrator scrie: 7. Ati fost si la O.I.M.?Programul "WolframAlpha" greseste vreodată?
Nu, n-am trecut de baraj pentru a intra in lotul largit.
Da, WolframAlpha mai si greseste pentru ca este construit sa gaseasca solutii sintetice si nu analitice. Exemplul dumneavoastra este deja celebru. Din pacate dumneavoastra credeti ca noi toti ceilalti nu intelegem, iar WolframAlpha este infailibil.
Ca programator, tin sa va spun ca nu exista program serios fara defecte sau limitari. Au explodat ele rachete (cautati Ariane 5), unde testarea este crunta si dumneavoastra credeti ca WolframAlpha este Dumnezeu.
Integrator scrie: 8. Cum putem afla dacă o ecuatie polinomială de un anumit grad are sau nu o solutie în multimea numerelor întregi?
Exista teorie pentru asta. Solutiile intregi se afla printre divizorii termenului liber. Lucru pe care un copil de-a 6-a mai rasarit l-ar putea demonstra.
Integrator scrie: În mod asemănător putem determina cam ce solutii ar putea avea o ecuatie functională si în cazul problemei de la postarea initială este evident că este functia constantă dar pentru a afla toate functiile trebuie să folosim o metodă care este valabilă în modul general iarDvs, fiind atotstiutor nu ati lămurit nici elevul autor si nici pe mine cu metoda "delta-epsilon"...
Eu tocmai mi-am declinat aceasta calitate de atotstiutor si am afirmat 2 lucruri:
- au fost cazuri in care am gresit si am recunoscut asta
- sunt probleme la care nu raspund pentru ca ma depasesc.
Daca sunteti serios cu metoda de rezolvare "delta-epsilon", putem incerca o alta abordare, in care eu afirm ceva, iar dumneavoastra spuneti daca ceea ce am spus este corect sau nu. Evident, vom face un topic de 50 de posturi.
Integrator scrie: 9. O metodă care nu este generală nu cred că este o metodă bună...Vă rog arătati-mi cu o altă metodă generală (alta decât cea de folosire a teoremei lui Lagrange) că functia constantă este singura solutie a acelei ecuatii functionale...asta dacă vă considerati atât de bun la matematică..Dacă cineva nu întelege atunci ar trebui să găsiti o altă metodă ca acel cineva să înteleagă în final în mod corect si comple rezolvarea unei probleme...
Am demonstrat deja asta. Mai mult, afirm ca nu se poate demonstra cu Lagrange.
Integrator scrie:10. Nu am evitat nimic....Deoarece intervalul este (x,2x+1) pentru x>=0 sau (2x+1,x) pentru x<=0 atunci înseamnă că pentru orice x real teorema lui Lagrange ne oferă ca soluti a acelei ecuatii functionale doar functia constantă.
Inca o data, din Lagrange aflam ca pentru orice interval (x,2x+1) pentru x>=0 sau (2x+1,x) pentru x<=0, avem cel putin un punct in care derivata se anuleaza. Asta nu inseamna ca derivata este nula peste tot acel interval.
Integrator scrie: 11. Trageti concluzii gresite ca să nu spun că postati de-aiurea deoarece din aplicarea teoremei lui Lagrange pentru functia f(x)=10+sinx rezultă că trebuie ca (x+1)cos(c)=0 care nu este valabilă pentru orice x real asa cum de altfel v-am mai spus într-o postare anterioară...si deci functia f(x)=10+sinx nu este o solutie a ecuatiei functionale f(2x+1)=f(x).
Am incercat sa aplic ceea ce am inteles eu ca propuneti cu rezolvarea folosind teorema lui Lagrange. Si da, este o aberatie, dar am sperat sa va fac sa intelegeti unde ati gresti in logica de la 9.
Functia data de mine nu se vrea solutie pentru problema initiala. Deja am afirmat de mai multe ori ca singura solutie este functia constanta.
Integrator scrie: 12. De ce nu răspundeti la intrebarea privind redactrea probleme?Cum ati redacta Dvs. problema referitoare la f(x^2+1)=f(x)?
Conform teoremei lui Lagrange functia căutată este tot functia constantă.
V-am raspuns deja de mai multe ori la intrebare.
- v-am dat exemplu de functie necontinua care respecta cerinta data. Dar se poate construi una si mai usoara.
- v-am spus ca pentru orice g:[0,1]->R, continua, cu g(0)=g(1), putem construi o functie f continua care respecta cerinta data.
- in general cand propui o problema, trebuie sa ai si rezolvarea ei. altfel se numeste conjectura sau problema deschisa. Asadar, nu pot sa formulez problema.

Fie sirul .
Atunci functia:

respecta cerinta data. Va rog sa-mi demonstrati contrariul.
1. Au fost mai multi dar doar unul singur a spus că se duce pe alt forum...
Rezolvarea inecuatiei unde este o problemă banală?
2. Metoda interactivă merge până la anumite nivele în functie de elev sau interlocutor altfel metoda este abuzivă si nu duce la rezolvarea corectă si completă a problemei.
4. Cu alte cuvinte cel care postează aiurea este un aiurit si asta considerati Dvs. că nu este o jignire...Ce spune "DEX online" că înseamnă cuvântul aiurit????
5. De ce vă abtineti?
6. La ce olimpic român faceti aluzie?
7. Programul "Wolfram Alpha" este foarte bun dar trebuie să stii cum să pui problema.Dacă pui pe "Wolfram Alpha" inecuatia atunci el spune că nu este definită pe C adică nu se poate rezolva,dar dacă pui pe "Wolfram Alpha" ecuatia echivalentă , atunci dă solutiile....
8. Corect si deci cum aflăm fără a rezolva ecuatia câte solutii reale are ecuatia de gradul 6 propusă de mine?
Da,doresc foarte mult să încercati o altă abordare de a mă convinge, în care Dvs. afirmati ceva,iar eu să spun dacă este sau nu corect sau să spun că nu-nteleg...
9. Dati-mi altă metodă alta decât cea de aplicare a teoremei lui Lagrange si care să fie convingătoare....
10. Deoarece intervalele sunt functie de x atunci aceste intervale asigură pe R aplicabilitatea teoremei lui Lagrange.
11. Functia 10 +sinx pentru ce problemă ati dat-o?Am impresia că Dvs. vreti să dregeti busuiocul dar nu stiti cum...
12. Iar încercati să dregeti busuiocul....cu acel f(x) din acolada aceea pentru că de fapt ati defalcat conditionat functia constantă cu valoarea 1 si respectiv cu valoarea 0............dar nu văd de ce partcularizati fără motiv de fapt solutia f(x)=a unde a este o constantă oarecare....
----------------------------------------
Astept să dialogăm "socratian" pe orice temă.

Toate cele bune,

Integrator

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj