Buna, as avea nevoie de ajutor la acest exercitiu
Calculati urmatoarele sume si demonstrati prin metoda inductiei matematice egalitatile găsite :
1^2+2^2+3^2+…+n^2
Stiu ca pare banal, dar chiar nu am inteles inductia. Stiu ca la acest tip de exercitiu este acea formulă : n (n+1)(2n+1)*totul supra*6. Dar totusi, cum demonstrez ? Cum rezolv exercitiul, care este rationamentul?
Multumesc anticipat
Demonstrarea ca o fraza matrematica este sau nu adevarat se face si pin metoda inductiei matematice
Mi intiai sa se afle sumsa;∑_(k=1)^n▒(k^2) Sa desvotam expresiile;
(n+1)^3.=n^3+3n^2+3n+1
n^3=((n-1)+1)^3.=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3=((n-2)+1)^3.=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1
(n-2)^3=((n-3)+1)^3.=(n-3)^3+3(n-3)^2+3(n-3)+1
.
3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1
2^3=(1+1)^3..=1^3+3.1^2+3.1+1
1^3=………………………..=1 sa adna aceste expresii si sa reducem termenii ce se pot reduce si avem;(n+1)^3=3.∑_(k=1)^n▒(k^2) +3.∑_(k=1)^n▒(k) +1(n+1)=3∑_(k=1)^n▒(k^2) +3n(n+1)/2+(n+1)sau∑_(k=1)^n▒(k^2) =(n+1)(n^2+2n+1-3n/2-1)/3=(n+1).n.(2n+1)/6
Sa demonstam ca rezultatl este corect prin metoda inductiei matematice
Expresia obtinuta∑_(k=1)^n▒(k^2) =n(n+1)(2n+1)/6 se numeste ‘’fraza matematica’’ si se noteaza cu P(n)
Deci fie P(n)-> ∑_(k=1)^n▒(k^2 ) =n(n+1)(2n+1)/6 pentru n≥1 Demonstrarea are 3 pasi
1)Se calculeaza P(1)->1^2=1.2.3/6=1Deci adevarat
2)Se presupune ca P(m)-> ∑_(k=1)^m▒(k^2 ) =m(m+1)(2m+1)/6este adevarat
3)Cosiderand 2) adearat sa aratam ca si P(m+1)-> ∑_(k=1)^(m+1)▒(k^2 ) =((m+1)(m+2)(2m+3))/6 este adevarat
Sau m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2=((m+1)(m+2)(2m+3))/6(te rog sa arati tu egalitatea)
Daca 1) si 3) adevarat atunci P(n) adevarat