Limite

thambor · Mesaj de **thambor** » 19 Noi 2016, 19:10

Sa se determine limita cand n tinde la infinit din (1-1/3)(1-1/6)...(1-1/combinari de n+1 luate cate 2).

SDoIT · Mesaj de **SDoIT** » 20 Noi 2016, 00:00

$1-\frac{1}{C_{n+1}^{2}}=1-\frac{1}{\frac{(n+1)n}{2}}=1-\frac{2}{n(n+1)}=\frac{n^{2}+n-2}{n(n+1)}=\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$

$\left( 1-\frac{1}{3} \right)\left ( 1-\frac{1}{6} \right )\cdot ...\cdot \left ( 1-\frac{1}{C_{n+1}^{2}} \right )=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}\cdot\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}\cdot\frac{3\cdot 6}{4\cdot 5}\cdot\frac{4\cdot 7}{5\cdot 6}\cdot...\cdot \frac{(n-4)(n-1)}{(n-3)(n-2)}\cdot\frac{(n-3)n}{(n-2)(n-1)}\cdot\frac{(n-2)(n+1)}{(n-1)n)}\cdot\frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}= \frac{1}{3}\cdot \frac{n+2}{n}$

Limita de calculat este deci $\frac{1}{3}$

Am scris atit de multi termeni sa vedeti cum se simplifica :
- primul factor de la numarator cu primul factor de la numitorul fractiei precedente
- al doilea factor de la numarator cu al doilea factor de la numitorul fractiei urmatoare

thambor · Mesaj de **thambor** » 23 Noi 2016, 17:54

Multumesc mult