Matrice

MiraBela98 · Mesaj de **MiraBela98** » 07 Noi 2016, 18:25

Fie matricea A= $( a_{ij} )_{i,j=1,2,3}$ cu elementele date de
$a_{ij}$ = $\left \{ {{(-1 )^{i+j}, i=j } \atop {(-1)^{i+j}C ^{i}_j ,i<j} \right. 0, i>j$
Sa se calculeze $A^{-1}$

SDoIT · Mesaj de **SDoIT** » 07 Noi 2016, 20:39

$A=\begin{bmatrix} (-1)^{1+1} & (-1)^{1+2}C_{2}^{1} & (-1)^{1+3}C_{3}^{1}\\ 0 & (-1)^{2+2} & (-1)^{2+3}C_{3}^{2}\\ 0 & 0 & (-1)^{3+3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -3\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Un algoritm pentru calculul inversei:

1) Verificam daca matricea este inversabila.
(A inversabila daca si numai daca $detA\neq 0$ )
In cazul nostru $detA=1\neq 0$ , deci matricea este inversabila.

2) Scriem transpusa matricei (schimbam liniile cu coloanele)
$_{}^{t}\textrm{A}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

3) Scriem matricea adjuncta (A*) corespunzatoare matricei A
( $A^{\ast }=(d_{ij})$ - matricea complementilor algebrici pentru transpusa lui A.
$d_{ij}=(-1)^{i+j}$ inmultit cu determinantul ce se obtine eliminind linia i si coloana j din transpusa lui A)

$d_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1 \end{vmatrix}=1 ;d_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -2 & 0\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=2;d_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 3 & -3 \end{vmatrix}=3$

$d_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 & 0\\ -3 & 1 \end{vmatrix}=0 ;d_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1;d_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 3 & -3 \end{vmatrix}=3$

$d_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{vmatrix}=0 ;d_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -2 & 0 \end{vmatrix}=0;d_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{vmatrix}=1$

Asadar: $A^{\ast }=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4) Scriem inversa lui A:
$A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^{\ast }$

In cazul nostru det(A) fiind 1:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(Exista mai multe alte procedee pentru calculul inversei!)