Sir

[Andreea Horovei]

Determinati daca sirul (an) n>=1, an=nsinn/(n+1) este monoton. Am incercat sa fac raportul an+1/an si diferenta an+1-an dar nu am obtinut nimic. Calculand a1, a2, a3 ar reiesi ca sirul este crescator. Multumesc anticipat.

[DD]

Fie ; f(x)=xsin(x/(x+1))-> x apartine (0+inf)
f '(x)=sin(x/(x+1 ))+xcos(x/(x+1) ) .(1/(x+1)^2) Se vede ca;0<x/(x+1)<1
(in rdiani )Deci lim(x->inf)f '(x)->sin1 si pentru orice x apartinand (0,+inf) f '(x)
este mai mare ca zero>In acest caz , f(x) este crscator si tinde la +inf. f(x) contine si sirul an care are aceeasi evolutie ca si f(x),adica an este crescator si tinde la +infinit

Daca nu ai facut derivatele studiaza expresia a(n+1)-an =(n+1)sin[1-1/(n+2))-
nsin(1-1/(n+1))=n.2.sin(1/(2(n+1)(n+2))).cos(1-(2n+3)/(2(n+1)(n+2)))+
sin)(1-1/(n+2))->pentru n foarte mare an=n/((n+1) ( n +2 )) +siN(1-1/(n+2 )) iartpentru n->+inf an=sin1

[gunty]

Ti-am atasat o abordare