Fie k ∈ R, k > 2 ̧si triunghiul ABC cu AC > AB. Se ̧stie c ̆a perimetrul triunghiului este de k ori mai mare decˆat lungimea laturii BC. Mediana, dus ̆a din vˆarful A, ˆımparte diametrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC, perpendicular pe latura BC, ˆın dou ̆a segmente. S ̆a se afle raportul lungimilor acestor segmente.
Fie [AM] mediana, U – piciorul bisectoarei din A, A’ – punctul de tangenţă a cercului înscris cu BC, [A’A”] – diametrul perpendicular
pe BC, P – intersecşia acestuia cu [AM].
Analog, din
şi tot din teorema bisectoarei,
Dar P trebuie să aparţină şi lui AM, adică
Deci coeficienţii lui trebuie să fie egali.
Din
Finalizare:
rezultat valabil în orice triunghi. În ipoteza din această problemă, 2p=ka, valoarea raportului va fi (k-2)/k.
Faţă de soluţia precedentă, să mai notăm cu B’, C’ punctele de tangenţă ale laturilor CA, AB cu cercul circumscris, cu P’ intersecţia
diagonalelor [A’A”], [B’C’] ale patrulaterului înscris A’B’A”C’ şi cu D şi E intersecţiile paralelei prin P’ la BC cu AB, respectiv AC.
Să măsuram câteva unghiuri.
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile A”P’C’, în care coarda şi P’DC’:
Analog, din triunghiurile A”P’B’ şi P’EB’ se obţine, schimbând literele B şi C între ele,
Am obţinut P’D=P’E, adică P’ este mijlocul segmentului [DE] || [BC]; dar asta înseamnă că P’ se afla pe mediana [AM], deci
P’ coincide cu P din soluţia precedentă.
Având
Am aplicat tot teorema sinusurilor în triunghiurile A”PC’ şi A’PC’.
Demonstraţia de mai sus evidentiază o proprietate:
În orice triunghi, mediana corespunzătoare unei laturi, diametrul cercului înscris perpendicular pe aceeaşi latură şi coarda determinată
de punctele de tangenţă ale celorlalte două laturi cu cercul înscris au un punct comun.