ortocentrul H al unui triunghi

[roweo]

In triunghiul ABC notam: AB=c. AC=b. BC =a, A1 piciorul inaltimii coborate din A si H-ortocentrul triunghiului.Sa se demonstreze ca:


c/cosC + b/cosB = AH/HA1 x a/cosA.

[DD]

Desenati un triunghi ABC inscris intrun cerc Osi de raza R. Fie ;AA1 ,BB1 ,CC1, inaltimile triunghiului cu H ortocentru Fie A2 intersectia inaltimii AA1 cu cerculO Sevede ca triunghiul HBA isoscel(unghiulHA2B=unghiulA2HB=unghiulC) deci A1A2=A1H(A1B este inaltimea triunghiului isoscel. Reamintimca expresiile ;a/cosA=2RtgA , b/cosB=2RtgB , c/cosC=2RtgC si la fel unghiul A=180-(B+¢)sau tgA=-(tgB+tgC)/(1-tgB.tgC) sau ;tgB+tgC=tgA(tgB*tgC-1)Fie expresia :E=
2R(tgB+tgC)=2RtgA(tgB.tgC-1) =2RtgA(AA1/A1B*AA1/A1C-1)=a/cosA*
(AA1^2/(A1B*A1C)-1) Cum puterea punctului A1 fata de cercul O eate A1B*A1C=AA1*A1A2 =AA1.A1H
E=(a/cosA)(AA1/A1H-1)=AH/A1H*a/cosA=b/cosB+c/cosC