dreapta lui EULER

[roweo]

Fie ABC un triunghi oarecare si d(x) dreapta lui EULER ce intersecteaza pe AB in B1 respectie pe AC in C1.In aceste conditii sa se demonstreze ca:

BB1/B1A + CC1/C1A = 1.

[DD]

Va rog sa desenati un triunghi ABC inscris in cercul de centru O Fie AA’’ ,BB’,’ CC’ inaltimile triunghiului si Hortocentrul Dreapta OH este dreapta lui .Euler (Aceasta dreapta contine centul de greutate al triunghiuluisi central cercului lui Euler) Sa luam triunghiulAA’’B intrsectat de dr. OH si sa scrim teorema lui Menelaus; AB1/B1B*BD/DA‘‘*A‘‘H/HA=1
Sau; BB1/B1A=BD/DA‘‘*A’’H/HA unde; (B1=OHintersectat cuAB , C1=OH intersectat cuAC , D=OH
intersectat cuBC) . S consideram acum triunghiul AA‘‘C intersectat cu OH si avem;
AC1/C1C*CD/DA’’*A’’H/HA=1->CC1/C1A=CD/DA’’*A’’H/AH si BB1/B1A+CC1/C1A=A’’H/HA*(BD+CD)/DA’’
DinOs ducem un cerc cu raza ODcare va intersecta pe OH in E si ppe DB in F vom avea : DF=DC+DB
Triunghiurile ; DOM (M jumatea seg BC) sI DEF sunt dreptungice(,<M =<F=90gr)si unde EF=2OM=AH
TRiunghiurile DA’’H si DFE unt aemenea Si avem ; EF/HA’’=AH/HA’’=DF/DA’’=(DC+DB)/DA’’ sau;
HA’’/HA*(DC+DB)/DA’’=1->BB1/B1A+CC1/C1A=1

[gigelmarga]

Fie ABC un triunghi oarecare si d(x) dreapta lui EULER ce intersecteaza pe AB in B1 respectie pe AC in C1.In aceste conditii sa se demonstreze ca:

BB1/B1A + CC1/C1A = 1.

Orice dreaptă care trece prin G (centrul de greutate) are proprietatea respectivă, nu numai dreapta lui Euler.

De altfel, asta reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca o dreaptă care taie laturile AB şi AC să treacă prin G.

Vezi un manual de clasa a 9-a.

[DD]

EXCEPTIONAL!
Domnul profesor '' gigelmarga'' are perfecta dreptate si demonstrarea propriatii
este chiar usoara;
Fie un triunghi ABC si mediana AA1si pe aceasta punctul G asa ca A1G/GA=1/2Fie o dreata oricare care trece prin G si intersecteaza laturile triunghiului; pe AB in B1 si pe AC inC1 si pe BC inD Fie triunghiul; AA1B intersectat de B1C1 si conf lui Menelaus avem;AB1/BB1*BD/DA1*A1 G/GA=1
sau ; BB1/B1A=BD/2DA1 si triunghiul AA1C intesect*at de B1C1 si avem;
CC1/AC1=DC/2DA1 de unde ; BB1/AB1+CC1/AC1=(BD+CD)/2DA1=1 ( A1 este mijlocul lui BC Deci 2* DA1=BD+CD)