Fie ABC un triunghi oarecare si C1(AB),C2(C1B),B1(AC),B2(B1C) patru puncte a.i dreptele : BB1,CC1,C2B2 sa fie concurente in punctul Q.In aceste conditii urmatoarea relatie este adevarata:
AC1/C1B X BC2/C2A + AB1/B1C X CB2/B2A = 1.
Daca: Q=G-centrul de greutate al triunghiului avem: BC2/C2A + CB2/B2A=1
Daca:Q=O-centrul cercului inscris in triunghi avem:
ACxBC2/C2A + ABxCB2/B2A = BC.
Daca:C2B2//CB avem teorema lui VAN ABEL.
Daca:Q=H-ortocentrul tringhiului avem o relatie cunoscuta.
Daca:C1B1//CB avem BC2/C2A + CB2/B2A =BC1/C1A=CB1//B1A
Va rog sa faceti un desen conf. problemei. Duceti apoi ceviana AQD (D pe BC) si prelungiti pe B2C2
pana intersecteaza pe BC in E
Triunghiul ADB.intersectat de dreapta CQC1 (conf. teoremei lui Menelaos) , avem;
AC1/C1B*BC/CD*DQ/QA=1 si acelasi triunghi intersectat de dreapta B2C2E ,avem;
AC2/C2B*BE/ED*DQ/QA=1. Triunghiul ADC intersectat de dreapta BQB1, avem;
AB1/B1C*CB/BD*DQ/QA=1 si aclasi triunghiintersectat de dreapta B2C2E, avem;
AB2/B2C*CE/ED*DQ/QA=1 Sa notam cu F relatia ceruta de problema , deci
F=AC1/C1B*BC2/C2A+AB1/B1C*CB2/B2A==CD/BC*QA/DQ*BE/ED*DQ/QA +BD/BC*QA/DQ*CE/DE*DQ/QA=(CD*BE+BD*CE)/(BC*ED)=(BC-BD)*(ED-BD)+BD*(DE+BC-BD)]/(BC*DE)=(BC*ED-BD*ED-BC*BD+BD^2+BD*ED+BC*BD-BD^2)/(BC*ED)=1
.
Daca Q=G , atunci AD, BB1 si CC1 sunt mediane si AC1=C1B , BD=DC , AB1=B1C
Relatia F devine; F=BC2/C2A+CB2/B2A=1
Daca Q=I intersectia bisectoarelor,atuncvi ; AD,,BB1 si CC1 sunt bisectoare si atunci ; AC1/C1B=
AC/BC si AB1/B1C==AB/BC sirelatia F-=AC*BC2/C2A+AB*CB2/2A=BC
Daca B2C2//BC atunci BC2/C2A=CB2/B2A =DQ/QA relatiaF devine; AC1/C1B+AB1/B1C=AQ/QD
Ultimile doua proprietati incearca -le si tu SUCCES