limita grea

MaTe1997 · Mesaj de **MaTe1997** » 21 Mar 2016, 20:31

lim cand x->0 din (1-cos(x)*(cos(2x)^2)*...(cos(nx)^n)/x^2).
Am incercat dar nu mi-a iesit.

Mesaj de **ghioknt** » 21 Mar 2016, 22:01

Mai întâi, cred că ai scris greşit: exponenţii trebuie să fie pentru cosinusuri, nu pentru argumentele acestora. Adică
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\cdot \cos^2 2x\cdot ...\cdot \cos^n nx}{x^2}.$
Voi nota această limită cu $l_n$ şi voi căuta să obţin o relaţie de recurenţă.
$l_{n+1}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\cdot ...\cdot \cos^nnx+\cos x\cdot ...\cdot \cos^n nx-\cos x\cdot ...\cdot \cos^{n+1}(n+1)x}{x^2}=\\=l_n+\lim_{x\to 0}\cos x\cdot ...\cdot \cos^nnx\cdot \frac{1-\cos^{n+1}(n+1)x}{x^2}=\\=l_n+1\cdot \lim_{x\to 0}\frac{(n+1)\cos^n x\cdot \sin(n+1)x}{2x(n+1)}\cdot (n+1)=l_n+\frac{(n+1)^2}{2}.$
Plecând de la $l_1=\frac{1}{2}$ şi adunând primele n-1 relaţii oferite de relaţia de recurenţâ, se obţine
$l_n=\frac{1}{2}+\frac{2^2}{2}+...+\frac{n^2}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}.$

MaTe1997 · Mesaj de **MaTe1997** » 21 Mar 2016, 22:22

Da am scris gresit.Multumesc frumos!ce idee geniala nu mi-ar fi trecut prin cap asa ceva!Toate cele bune!

Forum AniDeȘcoală.ro

limita grea

limita grea

Limita recurenta