Sir convergent (Variante Bac)

mateus560276 · Mesaj de **mateus560276** » 28 Feb 2016, 12:15

Buna ziua! Am urmatoarea problema luata din "Variante Bacalaureat 2009":

Se considera functia $f:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty ), f(x) = \frac{2x+1}{x+2}$ si sirul $(x_{n})_{n\geq 1}$ dat de $x_{0} = 2$ , $x_{n+1} = f(x_{n}), n \geq 1$

a) Sa se arate ca $\lim_{n\to\infty} x_{n} = 1$

b) Sa se arate ca sirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ , $a_{n} = x_{0} + x_{1} + ... + x_{n} - n$ este convergent.

Pentru punctul a, am inteles cum ne putem folosi de faptul ca functia este strict crescatoare pe $[0, \infty )$ pentru a arata ca sirul este descrescator si cum este marginit inferior avem ca este convergent, iar limita o calculam si este 1.

La punctul b, este usor de aratat ca sirul $(a_{n})$ este crescator, dar nu am idee cum pot obtine marginirea. Raspunsul din carte nu l-am inteles si mi se pare chiar gresit (Am calculat $a_{1} = \frac{9}{4} > 2$ , iar sirul este crescator deci limita nu are cum sa fie 1, cum zic ei).

Mesaj de **gigelmarga** » 28 Feb 2016, 14:48

Găsiţi o rezolvare corectă aici: http://goo.gl/FcxsGC (trebuie să vă creaţi cont).

mateus560276 · Mesaj de **mateus560276** » 28 Feb 2016, 15:14

Multumesc mult pentru raspuns, acum am inteles rezolvarea!