Se considera unghiul XOY cu masura de 120 de grade si bisectoarea lui [OZ. Se considera punctele A, B, C pe semidreptele [OX, [OZ respectiv [OY astfel incat 1/OB=1/OA+1/OC. Se ia un punct P exterior planului (XOY). Sa se demonstreze ca punctele P, A, B, C sunt coplanare.
M-am gandit ca punctele A, B, C ar trebui sa fie coliniare.
Tudor Gabrieluser (0)
Relatia ; 1/OA+1/OC=1/OB->(1) , in conditiile date ale problemei , implica A ,B si C
colineare deci pentru orice punct P, in exteriorul planului XOY si dreapta din planul XOY se poate defini um plan
(Fie planul XOY asa ca unghiul <XOY=120gr si fie OZbisectoarea unghiului XOY.
Sa dcem o dreapta care sa intersecteze semidreptele OX, OZ si OY,respectiv in A, B, C.Fie ‚’a’’<90grdi
Unghiul dintre OZ si AC . Conf. Teoremei sinusurilor vem; In triunghiul AOB->OA/sina=OB/sin(120-a) sau 1/OA=sin(120-a)/[OB.sina} iar din tgriunghiul BOC->OC/sina=OB?sin(a-60) sau .1/OC=-sin(60-a)/[OB.sina] deunde ; 1/OA+1/OC=(1/[OB.sina]).(sin(120-a)-sin(60-a))=1/OB.La fel se poate demonstra ca la A siB puncte daepe OX si pe OZ, dreapta AC va intersecta OY in C asa ca 1/OC=1/OB-1/OA. Rezulta ca relatia (1)este necesara si suficientaca punctle ; A, B siC sa fi coliniare)
Într-adevăr, punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă
[OAB]+[BOC]=[AOC]
(prin [F] am notat aria figurii F).
Folosind una din formulele pentru aria unui triunghi, egalitatea de mai sus devine
OA*OB*sin60/2+OB*OC*sin60/2=OA*OC*sin120/2,
dar cum sin 120=sin 60, obţinem egalitatea
OA*OB+OB*OC=OA*OC,
evident echivalentă cu 1/OA+1/OC=1/OB.