Buna! Cine ma poate ajuta si pe mine la o problema? Am tot incercat sa imi dau seama, dar nu am reusit
Pe multimea M={(xn)n>=1 | xn apartine Z} se definesc relatiile:
(xn)R1(yn) <=> yn-xn apartine {0, 2^n} si
(xn)R2(yn) <=> 2^n | yn-xn.
Am aratat in subpunctele anterioare ca R2 e relatie de echivalenta si ca R2 prelungeste pe R1.
Nu imi ies urmatoarele:
a) Exista o relatie de ordine care prelungeste R1? Daca da, gasiti cea mai mica astfel de relatie.
b)Este R2 inchiderea de echivalenta a lui R1? (aici eu am zis ca nu, am si o mica demonstratie. Va rog sa ma corectati daca am gresit)
c)Gasiti un sistem de reprezentanti pentru R2.
d)Aratati ca M/R2 este echipotenta cu R(mult numerelor reale).
Buna seara,
As putea sa intreb ce inseamna ca o relatie prelungeste o alta ? Inseamna cumva ca ? As presupune ca nu, dar nu sunt sigur ce altceva ar putea fi.
Este invers, R prim inclusa in R.
Daca relatia B prelungeste relatia A, inseamna ca daca (x,y) sunt in relatia A => ca (x,y) sunt si in relatia B
Va multumesc pentru lamurire!😀 Asa mi se parea si mie mai ok, insa ati scris in primul post ca ati aratat ca prelungeste , cand pare a fi pe dos 😀 . Presupun atunci ca era o greseala (de scriere probabil).
a) Deoarece , e reflexiva. Deoarece daca , rezulta ca pentru orice avem (daca ), deci , adica relatia este antisimetrica. Singura problema ar fi atunci tranzitivitatea. Sa vedem ce se intampla: daca avem , iar daca avem . Atunci deoarece , obtinem .
Sa consideram atunci relatia definita prin . Aceasta este reflexiva si, avand in vedere studiul anterior al tranzitivitatii, este si tranzitiva. Ea pastreaza si antisimetria deoarece daca (a se considera ca punct de plecare pentru ce scrie mai departe acelasi inceput ca la studiul anterior al antisimetriei, adica ce inseamna ) , care nu convine, iar daca , atunci , care iar nu convine. Deci e relatie de ordine si cum , o prelungeste pe .
Da, imi cer scuze pentru greseala si pentru faptul ca v-am derutat. Si va multumesc mult pentru rezolvare!🙂
Nu este nicio problema😀 . Cu drag! 🙂
EDIT: Inainte aparea in loc de . Imi pare rau pentru eroare.
Pentru c), deoarece ( dau acelasi rest la impartirea cu ), consideram pentru fiecare multimea formata din resturile posibile la impartirea unui numar cu : . Fie acum multimea [Am construit aceasta multime astfel incat ea sa fie multimea tututor sirurilor care au ca membru de rang un rest posibil al impartirii unui numar cu , deci orice sir am lua, el sa fie in relatie cu un element din aceasta multime (va fi si aratat mai jos)] . Avem si vom arata ca aceasta multime constituie un sistem de reprezentanti pentru .
Fie un sir abitrar de numere intregi. Un termen al sirului da un anumit rest la impartirea cu . Considerand sirul , avem si . Asadar, este un reprezentant pentru . Deci orice clasa de echivalenta are cel putin un reprezentant in .
Ar mai trebui sa aratam ca nu exista doi reprezentanti ai aceleiasi clase in , dar acest lucru nu se poate intampla pentru ca daca sunt doua siruri din , pentru a avea pentr un ar trebui (de exemplu, deoarece ) ca , deci . Am aratat aici ca doua siruri distincte din nu pot reprezenta aceeasi clasa (pentru ca daca sunt in relatie, ele sunt neaparat egale).
Cele doua proprietati ale lui asigura ca e sistem de reprezentanti pentru .
M-am uitat mai atent pe rezolvare si relatia R definita cum ati spus dumneavoastra nu este tranzitiva. Sa spunem de exemplu ca yn-xn=2^(n+1) si ca zn-yn=2^(n+1). Atunci zn-xn=2^(n+2) care nu apartine multimii.
EDIT:
Multumesc pentru toate rezolvarile si explicatiile!🙂
Si rectific, la subpunctul b) raspunsul este da.
Cu drag!😀 Daca as putea intreba, ce inseamna inchiderea de echivalenta 🙂 ?
R este inchiderea de echivalenta a lui P daca R este cea mai mica relatie de echivalenta cu proprietatea ca P este inclusa in R.🙂
Ohh. Va multumesc!
Am observat ca la punctul a) se mai cerea si cea mai mica relatie de ordine care prelungeste😕 .
Da, din cate vad cea gasita este si cea mai mica. Pentru ca am pornit de la R1 si am ajuns la ea, deci nu am adaugat decat ce era nevoie. Sper ca nu gresesc.🙂
Am adaugat ce era nevoie, insa nu sunt sigur ca nu se puteau adauga mai putine lucruri pentru a obtine o relatie de ordine😀 . S-ar putea totusi sa fie cea mai mica.