Se dau punctele A,B,C diferite, situate in planul α si S care nu e situat in planut α. Triunghiul ABC este echilateral iar m(∠SAB)=m(∠SBC)=m(∠SCA).
SA=AB iar punctele G1,G2,G3 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor SBC,ABC si SAB.
a) demonstrati ca G1G2 || ( SAB)
b) demonstrati ca( G1G2G3) || ( SAC)
c) demonstrati ca SABC este tetraedru regulat
cerintele a) si b) le-am rezolvat simplu, cu rapoarte si apoi utilizand Thales dar la punctul c) nu ma prea descurc. Am incercat sa notez cu x=m(∠SAB)=m(∠SBC)=m(∠SCA) si sa le scriu pe celelalte unghiuri in functie de x dar nu am gasit mare lucru. Am mai incercat sa arat ca triunghiurile isoscele SAB si SAC sunt congruente dar n-am gasit niciun caz de congruenta existent. As aprecia mult daca as primii niste sugestii si idei
multumesc anticipat.
Şi triunghiurile necongruente pot fi bune la ceva.
Fie triunghiurile MNP şi M’N’P’ astfel: atunci PN>P’N’.
Fie a lungimea comună a celor 4 segmente congruente.
Presupunem că cele trei unghiuri congruente au măsura mai mică de 60 grade şi fie triunghiul echilateral MNP, de latură a.
Atunci triunghiurile MNP şi ABS se află în situaţia de mai sus, deci MN>BS, adică BS<a.
În triunghiul isoscel ACS, unghiul <60 se află la bază, deci unghiul de la vârf CAS>60. Din comparaţia cu triunghiul echilateral MNP
deducem SC>a.
În triunghiul SBC, celei mai mari laturi, SC, i se opune un unghi, SBC<60, imposibil.
Analog se elimină ipoteza că cele trei unghiuri ar avea măsura >60. Rămâne că ele au măsura de 60 grade, cu consecinţa că
cele trei feţe sunt triunghiuri echilaterale.
Multumesc mult de tot!
superba ideea!