1. Determinati numerele naturale de forma abc barat, scris in baza 10, stiind ca :
10*[ ab barat /c – 1] + bc barat/a = 82.
O „tentativa” de rezolvare ar fi fost :
100a+10b/c -1 + 10b+c/a=82 = 100 a patrat + 10ab+10bc+c patrat= 82ac
2. Aflati numerele de forma abc barat, mai mici ca 500, daca:
a) abc barat da restul 5 la impartirea cu 9;
b) (a+b+c) si (acb barat+2) sunt divizibile cu 7.
Gasisem tot pe forum o rezolvare a acestui exercitiu, insa as dori sa-mi fie explicat pe indelete – sunt cam greu de cap
3. Determinati numerele de forma abcd barat divizibile cu 5 si a+d=7(b+c).
4.Aratati ca oricare ar fi numerele m si n pentru care 2m-3n=4 , numarul A=(m-2)(n+2) este divizibil cu 6.
5. Un triunghi are perimetrul egal cu 12 cm. Determinati lungimile celor 3 laturi , stiind ca a doua este cu 2 cm mai lunga decat prima si cu 1 cm mai scurta decat a 3a.
Am notat prima latura -a, a doua-b, a treia c.
a+b+c=12 cm
b=a+2=>a=b-2
b=c-1=>c=b+1
b-2+b+b+1=12
3b=12+1 =>3b=13 . Mai departe ce fac, daca nu se imparte exact? Totusi, in solutii e a=2 , b=4 si c=5.
V-as fi foarte recunoscator daca m-ati putea ajuta cu ceva sugestii privitor la exercitiile de mai sus !
2. Restul impartiri lui abc la 9 este egal cu restul impartirii lui (a+b+c) la 9.
Dar 1<=a+b+c<=27. De aici avem ca a+b+c apartine {5,14,23}.
Insa a+b+c divizibil cu 7. Din primele 2 rezulta ca a+b+c=14.
abc+2 divizibil cu 7 ==>2a+3b+c+2 divizibil cu 7.
Dar a+b+c divizibil cu 7 si scazand relatiile se obtine ca a+2b+2 divizibil cu 7.
Dar a+2b+2<29.
Deci a+2b+2 apartine {7,14,21,28}. 28 nu poate fi solutie.
De aici incepi cu subcazuri:
a. a+2b=5. Dar a+b+c=14. Scazand relatiile se ajunge ca c-b=9. Singurul caz posibil este pentru c=9, b=0, a=5. Numarul 509 verifica conditia data.
….
3. d poate fi doar 0 sau 5. In plus a+d<19 si a+d divizibile cu 7. Deci a+d apartine {7,14}.
De aici gasesti usor toate numerele (2015, 2105, 7010, 7100, …)
4. Demonstrezi ca m-2 este divizibil cu 3 si n+2 este divizibil cu 2.
5. 2+4+5=11!! Si nu 12. Probabil enuntul e gresit.