Avem triunghiul ABC, cu AB= radical din 2, BC = 2 si masura unghiului A = 45 grade. Se cere masura unghiului C.
Ce am facut pana acum :
Am dus inaltimile BM pe latura AC si CN pe latura AB.
M-am gandit sa incerc sa arat ca ABC este isoscel (cu baza BC) si la asta as ajunge daca as reusi sa demonstrez ca inaltimile BM si CN duse din varfurile bazei sunt congruente.
Compar triunghiul ABM cu triunghiul ACN :
unghiul M = unghiul N = 90 grade
unghiul A (comun) = 45 grade
rezulta ca unghiul B = unghiul C = 45 grade
si triunghiul ABM isoscel (AM =BM)
dar si triunghiul ACN isoscel (AN = CN)
Asa, si ? Cele 2 triunghiuri au toate unghiurile congruente, dar nu suntem in niciun caz de congruenta a triunghiurilor dreptunghice.Nu rezulta din asta ca laturile sunt si ele congruente si BM = CN. Doar ca cele doua triunghiuri sunt asemenea. Gresesc ?
Compar si triunghiurile BNC cu CMB :
unghiul N = unghiul M = 90 grade
BC = latura comuna (ipotenuza)
mai am nevoie de o cateta sau un unghi ca sa arat ca cele 2 triunghiuri dreptunghice sunt congruente…
Aveti vreo idee ? Multumesc.
Incearca sa rationezi putin altfel.
De ce ABC nu poate fi isoscel cu baza BC?
In primul rand avem ca BC>AB ==> m(A)>m(C). Daca triunghiul ar fi isoscel am avea ca m(A)+m(B)+m(C)<3*m(A)=135. Imposibil.
Hai sa incercam alta abordare.
Ai dus BM perpendicular pe AC. Cat este BM?
Ce fel de triunghi este CBM? Cunosti deja 2 laturi (BC si BM). Ti se pare ceva familiar?
LE: Cred ca totul a plecat de la faptul ca n-ai incercat sa faci figura cat mai corect.
Corect, am inteles. ABC nu poate fi isoscel cu baza BC.
Pe BM il calculasem deja:
In triunghiul AMB:
sin 45 = BM / AB
BM = AB sin 45 = radical din 2 x radical din 2 / 2 = 1
BM =AM =1
Triunghiul CBM este dreptunghic ,
MC patrat = BC patrat – BM patrat
MC patrat =3
MC = radical din 3
si cos C = CM/BC
= radical din 3 / 2
rezulta m(C) = 30 grade
Foarte frumoasa si simpla rezolvare, iar m-am gandit la chestii prea complicate 🙂
Multumesc !
L.E : bineinteles ca mergea si cu sinus de C si nu mai era nevoie sa-l aflu pe MC 🙂
VA rog sa-mi permiteti sa vin si eu cu o idee.Desenati un cerc cu raza R=1(o unitate).Duceti doua diametre perpendiculare; AA’ si BB’. Uniti pe A cu B si B’.
Din B duceti un cerc cu raza R’=BB’=2(doua unitati) care va intersecta prelungirea ui AA’ in C (A’ intre A si C).Uniti pe B’ cu C Vom avea ;Triunghiurile;ABC si AB’C congruente(figuri simetrice fata de AC)->B’C=BC=BB’=R’=2 , deci triunghiul BB’C este echilateral. UNghiul ABB’=45gr .unghiul B’BC=60gr unghiul BCA=180-(unghiulCAB+unghiulABB’+unghiul B’BC)
=180-150=30gr
Calculam aria triunghiului cu ajutorul sinusului.
Va multumesc pentru celelalte alternative de rezolvare.