Aplicatii la centrul de greutate al unui patrulater

Contributii personale; Concursuri scolare; Olimpiada.
ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1579
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Aplicatii la centrul de greutate al unui patrulater

Mesaj de ghioknt » 20 Mai 2014, 23:49

Fie ABCD un patrulater, M, N, P, Q, E, F mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DA], [AC], [BD] si
centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, ACD, ABD, ABC. Stim de aici http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=30848 ca
G este punct comun segmentelor [MP], [NQ], [EF], [AG_1], [BG_2], [CG_3], [DG_4], este mijlocul primelor 3 si le imparte pe
celelalte in raportul 3/1: . Sunt adevarate urmatoarele propozitii.
Daca G este centrul de greutate al patrulaterului ABCD, atunci pentru orice punct X, sunt adevarate relatiile:


Dem. Scriem relatia (4) http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=30853 pentru triunghiul BCD avand centrul de greutate G_1:

Pentru X=G:

Pentru ca aplicam relatia http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=30898:
Atunci:

deci relatia (5) este demonstrata.
Sa aplicam acum relatia (3) http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=30853 triunghiurilor BCD, ACD, ABD, ABC
pentru X=G si sa adunam cele 4 relatii. Se obtine

adica
sau

ceeace demonstreaza si relatia (6).
Obs. 1: nu are importanta daca punctele A, B, C, D, X sunt coplanare sau nu.
Obs. 2: acelasi tip de rationament permite trecerea de la P(n) la P(n+1) pentru a demonstra prin inductie:
oricare ar fi n+1 puncte, au loc relatiile:


Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj