Centre de greutate

Contributii personale; Concursuri scolare; Olimpiada.
ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1579
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Centre de greutate

Mesaj de ghioknt » 13 Mai 2014, 21:42

Fie puncte in plan (dar pot fi si in spatiu) si O un punct oarecare.
Punctul G care satisface relatia se numeste
centrul de greutate al sistemului de puncte
Punctul G astfel definit nu depinde de alegerea punctului O. Daca pentru un alt punct O' am gasi G' pentru care
atunci


Asta inseamna ca pentru orice punct X din plan/spatiu:
In particular, pentru X=G:
Relatia (2) poate servi drept definitie a centrului de greutate, pentru ca daca un punct G satisface relatia (2), atunci el satisface
si (1), adica este cntrul de greutate al sistemuluide puncte.
Este evident ca daca n=2, atunci centrul de greutate al sistemului este mijlocul segmentului determinat de puncte.
Fie o multime cu celputin 3 puncte si o partitie a sa (cele doua submultimi sunt disjuncte) cu
Daca sunt centrele de greutate ale multimilor
atunci
adica distantele sunt invers proportionale cu cardinalii celor 2 multimi; vectorial, avem:
Sa admitem ca centrul de greutate al unui sistem format dintr-un singur punct este chiar punctul respectiv. Pentru triunghiul
(degenerat sau nu) ABC consideram partitia {A} U {B,C}; Centrul de greutate al submultimii {B,C} este mijlocul D al segmentului
[BC], deci, conform propozitiei, centrul de greutate al multimii {A,B,C} este un punct G al medianei [AD] si
deci G din definitia de mai sus coincide cu intersectia medianelor pe care, si pana acum, l-am numit tot centru de greutate.
Fie ABCD un patrulater, centrele de greutate ale triunghiurilor BCD, ACD, ABD, ABC si
M, N, P, Q, E, F mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DA], [AC], [BD]. Considerand partitia {A} U {B,C,D} deducem ca G
se afla pe segmentul etc; considerand partitia {A,B} U {C,D} deducem ca G
se afla pe segmentul [MP], numit si bimediana, si este mijlocul aceteia. Aflam deci ca
sunt 7 drepte concurente in G. Ba mai mult , propozitia aceasta ramane perfect adevarata si daca ABCD este un tetraedru,
cele 7 drepte formand acum un ''snop'' de drepte concurente in G.
In general pentru o multime de n puncte putem scrie partitii cu submultimi nevide, dec iputem nominaliza tot
atatea drepte concurente in centrul de greutate G.

Scrie răspuns