Aflarea numarului de ordine a unui numar dintr-un sir

Aritmetica. Puteri. Numere in sistem zecimal. Divizibilitate. Multimi. Numere rationale (fractii, numere zecimale). Rapoarte si procente.
Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Aflarea numarului de ordine a unui numar dintr-un sir

Mesaj de alin89c » 29 Oct 2013, 16:13

As dori sa stiu cum se afla numarul de ordine al unui termen dintr-un sir.
Cand e vorba de sirul: "1,2,3,...,988" e floare la ureche sa-mi dau seama al catulea termen este, de exemplu, 623. Problema apare cand am de-a face cu siruri in care se aplica alte reguli cum ar fi sirul numerelor impare, sau sirul numerelor pare, sau cand se scriu numere din 3 in 3 etc.
Intrebarea mea, mai concret, este: trebuie neaparat sa scrii tot sirul ca sa afli care este numarul de ordine al unui anumit termen, sau exista vreo metoda mai rapida?
Asa faceam pana acum, numarand de la primul numar la numarul care trebuia sa-i fie aflat numarul de ordine.

(mi-ar prinde bine un exemplu cu sirul numerelor impare)
"Calculati al catulea termen al sirului este: 21, 441, 9261.

Green eyes
senior
senior
Mesaje: 1085
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 29 Oct 2013, 20:28

Salut,

Fie 1, 3, 5, 7, 9, ... şirul numerelor impare. Notăm cu a1 primul termen, a1=1, cu a2 al doilea termen, a2=3 şi aşa mai departe notăm cu an termenul de pe poziţia n.

Vom încerca să determinăm o legătură (dacă există) între an şi n.

În cazul acestui şir este destul de uşor:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2. Adunăm toate aceste n relaţii membru cu membru (acel 2 apare de n-1 ori):

a1+a2+a3+...+an-1+an=1+a1+a2+a3+...+an-1+2*(n-1), deci:

an = 1+2*(n-1)=1+2n-2=2n-1, deci an=2n-1

Dacă ştim pe an=21, atunci numărul de ordine a lui 21 se află simplu din:

21=2n-1 => n=11

Similar, 441=2n-1 => n=221

Green eyes.

Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Mesaj de alin89c » 29 Oct 2013, 23:47

an=an-1+2. Adunăm toate aceste n relaţii membru cu membru (acel 2 apare de n-1 ori):

a1+a2+a3+...+an-1+an=1+a1+a2+a3+...+an-1+2*(n-1), deci:

an = 1+2*(n-1)=1+2n-2=2n-1, deci an=2n-1
Câteva întrebări pe care mi le-am pus citind ce mi-ai scris:
Din primul rând:
1. Care sunt aceste n relaţii?
2. Ce înseamnă să aduni membru cu membru?
3. 2 apare de n-1 ori. De ce?

Am înţeles că:
a) fiecare termen este mai mare cu 2 decât antecedentul (exceptând primul termen, care n-are antecendent);
b) termenul al cărui număr de ordine trebuie să-l aflu este notat cu an, iar fiecare termen este notat cu: a1, a2, a3, ... ;
c) n se referă la numărul de ordine;
d) trebuie să ajung la un soi de ecuaţie în care trebuie să-l aflu pe n.


P.S. Ştiu că pentru tine şi, în general, pentru cei mai performanţi în domeniu înşiruirea de cifre şi simboluri are o logică extraordinară şi pare că nu există o cale mai potrivită pentru a face un "tăntălău la matematică" să priceapă. Dar, dacă ai putea folosi mai multe cuvinte în schimbul acestor exprimări matematice, m-ar/ne-ar ajuta mai mult. Apreciez foarte mult că mi-ai scris la postare, şi mi-aş dori să am şi cum să te răsplătesc, dar deocamdată apelez la dorinţa ta de a oferi ajutor celor în nevoie. Mulţumesc!

Green eyes
senior
senior
Mesaje: 1085
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 30 Oct 2013, 01:19

Salut,

Întrebările tale au fost:

1). Care sunt aceste n relaţii?

Răspunsul la întrebarea 1: Cele n relaţii sunt:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2

Cum aflăm dacă sunt n relaţii ? Ne uităm la fiecare relaţie în parte, numai la membrul stâng şi vedem că avem a1 - prima relaţie, a2 - a doua relaţie, şi aşa mai departe an, relaţia cu numărul n, deci în total sunt n relaţii.

2). Ce înseamnă să aduni membru cu membru?

Răspunsul la întrebarea 2: Uite un exemplu cu doar 2 relaţii:

m+n=p+r
b+d=h+f. Adunarea membru cu membru înseamnă să adun toţi membrii stângi şi separat toţi membrii drepţi, rezultatul ar fi:

m+n+b+d=p+r+h+f.

Se procedează similar şi dacă sunt 3, sau mai multe relaţii.

3). 2 apare de n-1 ori. De ce?

Răspunsul la întrebarea 3:

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=an-1+2

De la punctul 1 ştim că avem mai sus exact n relaţii. Observăm că acel 2 din "capătul" fiecărei relaţii apare la toate relaţiile, cu excepţia primei relaţii, deci 2 apare de n - 1 ori.

Paragraful cu părţile pe care le-ai înţeles este corect. Ca să fiu mai atent, numărul de ordine ar trebui să fie notat cu k, număr natural, k luând pe rând valorile 1, 2, ..., n.

Nu trebuie să fii atât de dur cu tine, nu eşti deloc un "tăntălău la matematică", după felul în care scrii, te consider cu 10 clase peste enorm de mulţi elevi din zilele noastre, care nu îşi cunosc limba maternă, ceea ce este foarte, foarte grav. Cred că eşti un băiat foarte deştept, se vede clar că ai luat şcoala foarte în serios. Te felicit !

Dacă ai urmărit soluţiile propuse de mine pe acest forum, ţin întotdeauna să precizez suficiente detalii şi explicaţii cât mai clare şi cât mai complete, pentru a ajuta cititorul să înţeleagă bine soluţia.

Reacţia ta mă ajută mult să văd dacă soluţia propusă este înţeleasă cum trebuie sau nu, de aceea îţi mulţumesc pentru întrebări, îmi face plăcere să îţi răspund. Nu este nevoie de nicio răsplată, este plăcerea mea. Acel mulţumesc pe care l-ai scris deja este suficient.

Noapte bună !

Green eyes.
Ultima oară modificat 30 Oct 2013, 22:11 de către Green eyes, modificat 1 dată în total.

Green eyes
senior
senior
Mesaje: 1085
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 30 Oct 2013, 10:38

Salut,

Aş dori să adaug că soluţia propusă de mine este scrisă astfel pentru că problema a fost publicată în secţiunea pentru elevii de clasa a V-a, care nu au studiat progresiile aritmetice.

Atunci când vei ajunge să re-studiezi matematica din clasa a IX-a, sau a X-a, vei redescoperi progresiile aritmetice, cu ajutorul cărora soluţionarea problemei pare mult mai facilă. Acesta este motivul pentru care soluţia propusă de mine este uşor elaborată.

Îţi trimit adresa unui document de pe Internet unde vei găsi câteva noţiuni despre progresiile aritmetice:

http://www.math.md/school/rubrica/prog/prog.pdf

Mult succes ! O zi excelentă.

Green eyes.

Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Mesaj de alin89c » 31 Oct 2013, 00:08

Mi se pare un pic cam greu de priceput...

Deci 1:
În scăderea "an-1" are loc înlăturarea primului termen din totalitatea de termeni, iar poziţia ultimului termen an (sau a termenului a cărei poziţie am nevoie s-o aflu ak) este egală cu: an (sau ak, după caz) - 1 + 2.

Deci 2:
Eu gândesc următorul lucru (în cazul în care am nevoie să aflu poziţia numărului 21):
an reprezintă pe 21 şi totodată poziţia acestui număr
Cum poate an să fie egal cu an-1+2? Dă-mi voie să expun o situaţie ipotetică:
Să zicem că a3 ar fi ultimul termen. Expresia "a3=a3-1+2" poate fi adevărată? Eu zic că da, dar am o oarecare nedumerire cu privire la rezultatul pe care-l obţin. Motivul: dacă scad 1 din a3 ajung la "a3=a2+2" (adică la conştientizarea faptului că ultimul termen este egal cu precedentul + 2). America!!! :P Aici trebuia să ajung?
Dacă 2 apare de n-1 ori, nu trebuia scris "an=(an-1)*2", astfel încât totul să arate ca mai jos?

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+2
...
an=(an-1)*2

Iartă-mă, dar nu pot trece mai departe dacă nu înţeleg bine de ce ai scris: an=an-1+2.

Deci 3:
Eu caut să elaborez un model de rezolvare după următoarele:
a) ce întrebări trebuie să-mi pun? (ex: ce trebuie să aflu; de unde încep)
b) la ce trebuie să recurg în cazul în care una dintre înrebări nu se aplică? (ex: "Este vreo legătură între an şi n" - dacă nu este, ce fac?)
c) cum pot şti că merg în direcţia cea bună?
Dacă nu am un sentiment de siguranţă mă împotmolesc şi simt că mi se pune lacăt la "gânditor". De aceea caut detalii...


P.S. În cazul în care nu eu sunt "tăntălăul matematic", cine e atunci? Pentru că dacă tot nu reuşesc să înţeleg care-i treaba cu numărul de ordine, tot tind să cred că eu sunt mate-tăntă-maticul. :D

P.P.S.
Atunci când vei ajunge să re-studiezi matematica din clasa a IX-a, sau a X-a, vei redescoperi progresiile aritmetice, cu ajutorul cărora soluţionarea problemei pare mult mai facilă. Acesta este motivul pentru care soluţia propusă de mine este uşor elaborată.

Îţi trimit adresa unui document de pe Internet unde vei găsi câteva noţiuni despre progresiile aritmetice:

http://www.math.md/school/rubrica/prog/prog.pdf
Mulţumesc pentru document, dar e cam greu de digerat (deocamdată). Abia aştept să ajung în clasa a IX-a...
Nu trebuie să fii atât de dur cu tine, nu eşti deloc un "tăntălău la matematică", după felul în care scrii, te consider cu 10 clase peste enorm de mulţi elevi din zilele noastre, care nu îşi cunosc limba maternă, ceea ce este foarte, foarte grav. Cred că eşti un băiat foarte deştept, se vede clar că ai luat şcoala foarte în serios. Te felicit !
Mulţumesc. Tot ceea ce vreau este să nu rămân în urmă... Tatăl meu este scriitor. De la el am moştenit acest talent de a scrie corect.

Avatar utilizator
aurel5
junior
junior
Mesaje: 632
Membru din: 28 Mar 2012, 10:54

Mesaj de aurel5 » 31 Oct 2013, 05:38

alin89c scrie:Mi se pare un pic cam greu de priceput...


alin89c scrie:
Deci 1:
În scăderea "an-1" are loc înlăturarea primului termen din totalitatea de termeni

alin89c scrie:...an reprezintă pe 21 şi totodată poziţia acestui număr







Nu la fel de simplu e sa scriem toate numerele naturale impare pana la 441, iar apoi sa numaram cate numere avem, pentru a stabili pe ce loc (pozitie) se afla 441.






alin89c scrie:... trebuie neaparat sa scrii tot sirul ca sa afli care este numarul de ordine al unui anumit termen, sau exista vreo metoda mai rapida?

Green eyes
senior
senior
Mesaje: 1085
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 31 Oct 2013, 12:11

Salut,

Observaţiile lui Aurel sunt corecte. Aş adăuga că dacă primele relaţii sunt aşa:

a2=a1+2 ,care se citeşte aşa: al doilea termen al şirului (cel cu numărul de ordine 2) este egal cu primul termen al şirului (cel cu numărul de ordine 1, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2;

a3=a2+2 ,care se citeşte aşa: al treilea termen al şirului (cel cu numărul de ordine 3) este egal cu al doilea termen al şirului (cel cu numărul de ordine 2, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2;

a4=a3+2 ,care se citeşte aşa: al patrulea termen al şirului (cel cu numărul de ordine 4) este egal cu al treilea termen al şirului (cel cu numărul de ordine 3, sau mai exact termenul imediat anterior) + 2, atunci în mod logic şi intuitiv

an=an-1+2, nu poate fi citit decât aşa: al n-lea termen al şirului (cel cu numărul de ordine n) este egal cu al (n-1)-lea termen al şirului (cel cu numărul de ordine n-1, sau mai exact termenul imediat anterior, care este de fapt penultimul termen al şirului) + 2.

Cu alte cuvinte, acel an-1 se citeşte ca un tot unitar, nu se separă sub nicio formă an de -1, pentru că este termenul din şir cu numărul de ordine n-1. Dacă am face această separaţie, am obţine ceva aberant, adică:

an=an -1 + 2=an + 1, de unde an=an+1, de unde ar rezulta că 0=1 ceea ce este absurd.

Greşeala este legată de scrierea aleasă de mine. Modul ales de Aurel este mai bun, pentru că se vede clar din scrierea lui că n-1 este un indice al lui a, nimic altceva.

Cred că ar fi fost mai bine să fi scris aşa:

a_2 = a_1 + 2
a_3 = a_2 + 2
...
a_n = a_n-1 + 2, unde a_k este un identificator unic al termenului din şir, termenul a_k este al k-lea termen al şirului, k este număr natural nenul, k=1, 2, …, n-1, n, adică termenii şirului ar fi a_1, a_2, a_3, ..., a_n-1, a_n.

În cazul lui a_n-1 acel n-1 este indicele lui a, nu se separă sub nicio formă de a. Cea mai potrivită este scrierea în Latex (cea folosită de Aurel), care scriere arată cam aşa:



Un model de rezolvare este cel propus de mine (vei şti de unde să începi, vei şti cum să procedezi pas cu pas, care este strategia de rezolvare, cum şi unde trebuie să ajungi), modelul fiind relativ greoi pentru un elev de clasa a V-a, dar în clasa a V-a elevii nu au alte căi de atac a problemei, cum ar fi progresia aritmetică menţionată de mine. Dacă am avea acest avantaj al cunoaşterii metodei progresiei aritmetice, soluţionarea ar fi mult, mult mai uşoară.

Încerc să-ţi răspund la întrebarea ta: ce este de făcut dacă nu putem găsi prea uşor o dependenţă între an şi n ? Soluţia se găseşte de la caz la caz, cred că ar fi dificil să propunem o soluţie universal valabilă, adică discutăm având în faţă o problemă concretă. Având în vedere faptul că tu ai absolvit deja liceul, în cazul tău ar fi potrivit ca pe lângă metoda de mai sus (utilizabilă de elevii de clasa a V-a) să ai în "tolba" cu metode şi cea legată de progresiile artimetice. Dacă soluţia pe care ţi-o doreşti trebuie neapărat să fie calată pe cunoştinţele clasei a V-a, atunci îţi recomand metoda de mai sus.

Îţi recomand să rezolvi singur câteva exerciţii similare şi cred că vei reuşi să înţelegi mai bine. Practica te ajută mult să înţelegi teoria. Mult succes !

Green eyes.

Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Mesaj de alin89c » 01 Noi 2013, 01:46

Multumesc, Aurel, pentru ca m-ai luminat. Ultimul paragraf m-a facut sa creez urmatoarea formula care poate fi aplicata la orice sir (chiar va rog sa verificati!):

d*[n+(a1-d):d]=an, unde
d=diferenta dintre oricare doi termeni alaturati,
n=pozitia lui an,
a1=primul termen,
an=numarul al carui nr. de ordine trebuie sa-l aflam.

Deocamdata nu stiu sa lucrez cu altfel de numere decat cu numere naturale, asa ca am folosit un calculator pentru a face impartirile care nu dau catul exact. La fel si in cazul in care am avut de scazut un numar mai mare dintr-un numar mai mic.

Exemplu de problema rezolvata cu aceasta formula:
Fie sirul: 19, 22, 25, ..., 64. Aflati ce pozitie ocupa numarul 61.
FORMULA:
d*[n+(a1-d):d]=an
3*[n+(19-3):3]=61
n+16:3=61:3
n=61:3-16:3 (numitor comun este 3)
n=45:3
n=15
=> Numarul de ordine a lui 61 este 15.

Multumesc mult de tot inca odata!
Pentru moment imi este de ajuns cat mi-ati scris. Daca mi-ati putea da o formula tot general valabila care sa nu implice calcule care sa dea cu minus, sau calcule in care deimpartitul nu este divizibil cu impartitorul...

O noapte buna va doresc!

Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Mesaj de alin89c » 04 Noi 2013, 20:15

Am primit următorul mesaj pe privat de la un elev:
Sunt boboc in clasa a V a si am urmarit cu interes subiectul prezentat. Va multumesc tuturor pentru explicatii.Am avut ca tema acest gen de exercitii si nu am stiut cum sa rezolv.Voi relua acele exercitii pe baza explicatiilor dumneavoastra.
Doresc o indrumare pentru rezolvarea primei paranteze a urmatorului exercitiu
Calculati (1*2*3*...*15)/(1+2+3+...+15)

unde * este semnul inmultirii
suma la a doua paranteza este 120.
Va multumesc !
Răspunsul meu în ce priveşte explicarea celei de-a doua paranteze l-am introdus într-un fişier pdf. Deschideţi de aici: http://corarmoniabacau.files.wordpress. ... gresii.pdf

Dacă puteţi explica cum se rezolvă produsul şirului: 1*2*3*...*15 mi-ar fi şi mie de folos.

Green eyes
senior
senior
Mesaje: 1085
Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
Localitate: Timişoara

Mesaj de Green eyes » 05 Noi 2013, 01:26

Salut,

Atenţie mare !!! 1*3*5*...*15 NU este o progresie geometrică, este doar o înmulţire a primelor 8 numere naturale impare.

O progresie este de fapt o enumerare de termeni, fiecare termen în afară de primul este egal cu termenul imediat precedent înmulţit cu raţia progresiei geometrice.

Exemplu de progresie geometrică, cu raţia egală cu 3:

Revenim la problema iniţială: deşi produsul 1*3*...*15 are doar 8 termeni nu este neapărată nevoie să efectuăm acest produs. Ar fi cam dificil şi inutil.

Ştim că numitorul este egal cu 120, deci va trebui să identificăm acei termeni de la numărător al căror produs este egal cu 120, pentru a simplifica fracţia cu 120. Din păcate, nu vom putea simplifica pe de-antregul, pentru că 120 este număr par, iar produsul de la numărător este număr impar.

120=8×15, deci vom putea simplifica doar cu 15, rezultatul este:

Green eyes.

Avatar utilizator
aurel5
junior
junior
Mesaje: 632
Membru din: 28 Mar 2012, 10:54

Mesaj de aurel5 » 05 Noi 2013, 10:27

alin89c scrie:Am primit următorul mesaj pe privat de la un elev:
Sunt boboc in clasa a V a si am urmarit cu interes subiectul prezentat. Va multumesc tuturor pentru explicatii.Am avut ca tema acest gen de exercitii si nu am stiut cum sa rezolv.Voi relua acele exercitii pe baza explicatiilor dumneavoastra.
Doresc o indrumare pentru rezolvarea primei paranteze a urmatorului exercitiu
Calculati (1*2*3*...*15)/(1+2+3+...+15)

unde * este semnul inmultirii
suma la a doua paranteza este 120.
Va multumesc !
Răspunsul meu în ce priveşte explicarea celei de-a doua paranteze l-am introdus într-un fişier pdf. Deschideţi de aici: http://corarmoniabacau.files.wordpress. ... gresii.pdf

Dacă puteţi explica cum se rezolvă produsul şirului: 1*2*3*...*15 mi-ar fi şi mie de folos.
Continutul fisierului pdf este "obositor". Ar trebui eliminat (sters) de acolo, dar si din memorie.

Lucrurile sunt mult mai simple (!!)

Nu exista o formula (prescurtata) pentru calculul produsului 1*2*3* ... *15

Avatar utilizator
alin89c
utilizator
utilizator
Mesaje: 36
Membru din: 02 Aug 2013, 21:57

Mesaj de alin89c » 05 Noi 2013, 13:47

Atenţie mare !!! 1*3*5*...*15 NU este o progresie geometrică, este doar o înmulţire a primelor 8 numere naturale impare.
Am omis un paragraf...
Citat de pe wikipedia: "În matematică, progresia este un sir de numere care derivă unul din altul urmând anumite reguli."
Vasăzică nici 1*2*3*...*15, nici 1+2+3+...+15 nu sunt progresii, ci exprimă ori o sumă (neefectuată), ori un produs (neefectuat).

Motivul pentru care am crezut că 1*2*3*...*15 este progresie geometrică:
Citat de pe wikipedia: "Progresiile cele mai frecvent folosite sunt progresia aritmetică si progresia geometrică. Fiecare dintre acestea are caracteristică o anumită operatie (în care intervine numărul anterior din sir si o constantă), si anume adunarea în cazul progresiilor aritmetice si înmultirea în cazul celor geometrice."
în 1*2*3*...*15 avem semnul înmuţirii. Deci este prezentă operaţia de înmulţire.

Citat de pe wikipedia:"Tipic pentru progresiile geometrice este faptul că raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant;"
în 1*2*3*...*15 avem un raport constant între oricare doi termeni consecutivi. Îl avem pe 1 ca raţie.

Acum, începând să descifrez formula pentru progresia geometrică, am aflat că nu am dreptate când zic: "1*2*3*...*15 este progresie geometrică":
Citat de pe wikipedia: Imagine
Pe baza explicaţiilor date de Green Eyes am reuşit cât de cât să citesc formula. Oare e corect?
"Oricare termen (înafară de primul) este egal cu termenul imediat anterior înmulţit cu raţia". Sau: "Oricare termen (tot înafară de primul) este egal cu primul termen înmulţit cu raţia la puterea poziţiei termenului anterior.


Raţia r este egală cu diferenţa dintre oricare doi termeni alăturaţi, da?
Acest lucru îmi confirmă formula (tot de pe wikipedia): r = ak - ak-1 (litera k este un pic mai jos de a; la fel şi "k-1")

Aaaa, dar stai că acum am observat ceva interesant! Sunt două tipuri de raţii. Raţia progresiei aritmetice notată cu r, şi raţia progresiei geometrice notată cu q. Care-i formula raţiei la progresia geometrică? Deci q = ... ???

Continutul fisierului pdf este "obositor". Ar trebui eliminat (sters) de acolo, dar si din memorie.

Lucrurile sunt mult mai simple (!!)
Vasăzică tot ce-am scris în fişierul pdf e corect şi logic? Doar am complicat lucrurile?
Nu exista o formula (prescurtata) pentru calculul produsului 1*2*3* ... *15
Nu există sau nu ştii de existenţa vreuneia? Pentru că ar putea fi inventată :D

Scrie răspuns