Puteri

Aritmetica. Puteri. Numere in sistem zecimal. Divizibilitate. Multimi. Numere rationale (fractii, numere zecimale). Rapoarte si procente.
Anonym
utilizator
utilizator
Mesaje: 54
Membru din: 20 Noi 2012, 19:45

Puteri

Mesaj de Anonym » 18 Aug 2013, 09:45

Determinati ultima cifra a numarului a=1+2^2+3^3+....+2013^2013

Am incercat sa-i grupez cate 10 termeni pentru a vedea daca nu cumva ultima cifra a fiecarei grupe este aceeiasi, adica 0. Rezultatul a fost diferit de 0. Cred ca am gresit undeva dar nu realizez unde.

bedrix
veteran
veteran
Mesaje: 2770
Membru din: 16 Dec 2010, 02:41

Mesaj de bedrix » 18 Aug 2013, 15:02

Observa ca avem numere de forma a, Nb barat, unde a si b sunt cifre
Iar N este numar de 1,2 sau 3 cifre
Avem a^a si Nb^Nb
Analizam u(a^a) ; u(1^1)=1 ; u(2^2)=4; u(3^3)=7 ; u(4^4)=6; u(5^5)=5;u(6^6)=6; u(7^7)=u(7^3)=3 ; u(8^8)=u(8^4)=6 ; u(9^9)=u(9^1)=9
Analizam u(Nb^Nb) =u(b^Nb);
Stim ca u(0^g)=0 ; u(1^c)=1 ; u(5^d)=5;u(6^f)=6 pentru orice g , c , d , f E N; u(b^k)=u(b^(4p+r))=u(b^r), unde r<4, perioada este 4 pentru b E {2,3,7,8}; perioada este 2 pentru b E {4,9} . Deci [1,2,4]=4 .
Ultima cifra se repeta la fiecare al X-lea numar natural consecutiv. Din [4,10]=20 rezulta ca la fiecare al 20 numar dintre termenii sumei se repeta ultima cifra
Deci u(1+2^2 + 3^3 +4^4 +&#8230;+2^20)=u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) + u(8^8) + u(9^9) + u(0^10) + u(1^11) + u(2^12) + u(3^13) + u(4^14) + u(5^15)+u(6^16)+u(7^17)+u(8^18)+u(9^19)+u(0^20))=u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0)=8
2013:20=100 rest 13 ; (100 grupe de cate 20 de cate 20 numere)
u(a)=u(8*100+ u(1^2001) + u(2^2002) + u(3^2003) + u(4^2004) + u(5^2005) + u(6^2006) + u(7^2007) + u(8^2008) + u(9^2009) + u(0^2010) + u(1^2011) + u(2^2012) + u(3^2013))=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7

Edna
utilizator
utilizator
Mesaje: 13
Membru din: 25 Aug 2013, 19:26

Mesaj de Edna » 26 Aug 2013, 11:41

bedrix scrie:Observa ca avem numere de forma a, Nb barat, unde a si b sunt cifre
Iar N este numar de 1,2 sau 3 cifre
Avem a^a si Nb^Nb
Analizam u(a^a) ; u(1^1)=1 ; u(2^2)=4; u(3^3)=7 ; u(4^4)=6; u(5^5)=5;u(6^6)=6; u(7^7)=u(7^3)=3 ; u(8^8)=u(8^4)=6 ; u(9^9)=u(9^1)=9
Analizam u(Nb^Nb) =u(b^Nb);
Stim ca u(0^g)=0 ; u(1^c)=1 ; u(5^d)=5;u(6^f)=6 pentru orice g , c , d , f E N; u(b^k)=u(b^(4p+r))=u(b^r), unde r<4, perioada este 4 pentru b E {2,3,7,8}; perioada este 2 pentru b E {4,9} . Deci [1,2,4]=4 .
Ultima cifra se repeta la fiecare al X-lea numar natural consecutiv. Din [4,10]=20 rezulta ca la fiecare al 20 numar dintre termenii sumei se repeta ultima cifra
Deci u(1+2^2 + 3^3 +4^4 +&#8230;+2^20)=u(u(1^1) + u(2^2) + u(3^3) + u(4^4) + u(5^5) + u(6^6) + u(7^7) + u(8^8) + u(9^9) + u(0^10) + u(1^11) + u(2^12) + u(3^13) + u(4^14) + u(5^15)+u(6^16)+u(7^17)+u(8^18)+u(9^19)+u(0^20))=u(1+4+7+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0)=8
2013:20=100 rest 13 ; (100 grupe de cate 20 de cate 20 numere)
u(a)=u(8*100+ u(1^2001) + u(2^2002) + u(3^2003) + u(4^2004) + u(5^2005) + u(6^2006) + u(7^2007) + u(8^2008) + u(9^2009) + u(0^2010) + u(1^2011) + u(2^2012) + u(3^2013))=u(0+1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3)=7
Ultima cifra a lui 3^3 = 7 ? Nu 9 ?

Scrie răspuns