matricea A la puterea n (cu binomul lui newton)

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
tovy
utilizator
utilizator
Mesaje: 1
Membru din: 21 Noi 2011, 20:19

matricea A la puterea n (cu binomul lui newton)

Mesaj de tovy » 29 Noi 2011, 20:43

vreau sa calculez A la n

A=(-1 1 1)
(1 -1 1)
(1 1 -1)

Bogdan Stanoiu
veteran
veteran
Mesaje: 1547
Membru din: 17 Oct 2010, 21:24
Localitate: Bucuresti

Re: matricea A la puterea n (cu binomul lui newton)

Mesaj de Bogdan Stanoiu » 29 Noi 2011, 21:05

tovy scrie:vreau sa calculez A la n

A=(-1 1 1)
(1 -1 1)
(1 1 -1)
Se arata mai intai ca produsul a doua matrice pentru care toate elementele de pe diagonala principala sunt egale intre ele si toate elementele care nu se gasesc pe diagonala principala sunt de asemenea egale intre ele este tot o matrice de aceeasi forma
Deci A^n va fi o matrice de forma : x(n) pe diagonala principala si y(n) in rest.
Din relatia A^(n+1)=A*A^n se obtin relatiile de recurenta
x(n+1)=-x(n)+2y(n) si y(n+1)=x(n). De aici rezulta ca
x(n+1)=-x(n)+2x(n-1) de unde rezulta ca
x(n+1)+x(n)-2=0 sir pentru care formula termenului general se determina cu ajutorul ecuatiei caracteristice.
Analog se determina y(n)

DD
profesor
profesor
Mesaje: 5107
Membru din: 06 Aug 2010, 17:59

Mesaj de DD » 29 Noi 2011, 21:46

Sa scriem matrice data sub forma ;
................(1 1 1)
A=(-2).I3+(1 1 1)=-2.I+B
................(1 1 1) Se vede ca ; B^2=3.B=3^2.(B/3) , B^3=3^3.(B/3)..
..B^n=3^n.(B/3) . Deci ; A^n=(B-2.I)^n=C(de n luate cate 0) din [3^n.(B/3)]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2).(B/3)]+...+C(de n luate cate k)din [3^(n-k).(-2)^k.(B/3)]+..+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1).
(B/3)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{C(de n luate cate 0) din [3^n]+C(de n luate cate 1) din [3^(n-1).(-2)]+....+C(de n luate cate k) din [3^(n-k).(-2)^k]+...+C(de n luate cate (n-1)) din [3.(-2)^(n-1)]+C(de n luate cate n) din [(-2)^n]-C(de n luate cate n) din [(-2)^n]}+C(de n luate cate n) din [(-2)^n.I]=(B/3).{(3-2)^n-(-2)^n}+(-2)^n.I=
(1-(-2)^n).(B/3)+(-2)^n.I=(B/3)+(-2)^n.(I-B/3). Sper ca nu am gresit . Totusi, ideea este importanta . Notatia "C(de n luate cate k)=combinari de n luate cate k". Te rog sa ai rabdare.Intrebari?

Scrie răspuns