Permutare - verificare

xor_NTG · Mesaj de **xor_NTG** » 19 Sep 2012, 11:02

Salut!

Am o permutare $\sigma \in S_5$ . Se cere rezolvarea ecuatiei: $x\sigma = \sigma x$ .

Eu am rezolvat astfel: $\forall \,x \in S_5 ,\,\,\,x \ne e,\,\,\,\,x \ne \sigma ^{ - 1} \to x\sigma \ne \sigma x$ concluzie rezultata din faptul ca inmultirea (compunerea) permutarilor nu este comutativa.
Deci solutia ecuatiei este: $x \in \left\{ {\sigma ^{ - 1} ,e} \right\}$
Am senzatia ca imi scapa ceva, dar nu stiu exact ce.

Multumesc.

mathmagix · Mesaj de **mathmagix** » 21 Sep 2012, 16:28

Faptul ca o operatie nu este comutativa nu exclude posibilitatea ca un anume element sa comute cu unele elemente(mai mult de doua) dar cu altele nu. De exemplu, pe multimea matricelor patratice se pot defini submultimi pe care inmultirea sa fie comutativa
$M=\{\begin{pmatrix} a &0 \\ 0&b \end{pmatrix},a,b \in \mathbb R\}$
O matrice de forma $\begin{pmatrix} a &0 \\ 0&b \end{pmatrix}$ comuta cu orice matrice de aceeasi forma si sunt o infinitate de matrice(nu doar I2 si inversa ei)

xor_NTG · Mesaj de **xor_NTG** » 21 Sep 2012, 18:58

Deci care ar fi o posibila rezolvare la problema pe care am postat-o initial?

Mesaj de DD » 21 Sep 2012, 21:16

Rezolvarea , res[ectiv posibilitatea de a exista astfel de egalitati, depinde de permutarea sigma..Definiti o astfel de permutare sigma si vom putea calcula permutarea X sau, vom putea spune daca acesta egalitate poate sa existe sau nu.

Bogdan Stanoiu · Mesaj de **Bogdan Stanoiu** » 21 Sep 2012, 22:29

DD scrie:Rezolvarea , res[ectiv posibilitatea de a exista astfel de egalitati, depinde de permutarea sigma..Definiti o astfel de permutare sigma si vom putea calcula permutarea X sau, vom putea spune daca acesta egalitate poate sa existe sau nu.

Indiferent de valoarea permutarii sigma exista cel putin o permutare care sa comute cu sigma (chiar permutarea sigma). De fapt multimea permutarilor care comuta cu permutarea sigma este un subgrup a lui S(n) care contine subgrupul generat de sigma.
Intrebarea este care sunt pemutarile sigma pentru care subgrupul generat de sigma coincide cu subgrupul permutarilor care comuta cu sigma...

Mesaj de DD » 21 Sep 2012, 23:31

Multimea permutarilor cu 5 numere (1,2 ,3 ,4 ,5) va contine 120elemente si fiecare permutare trebue analizata, cu exceptia permutarii identice si a permutarilor inverse , considerand ca pe cele "directe" le-am examinat si-i cam mult.

xor_NTG · Mesaj de **xor_NTG** » 22 Sep 2012, 10:56

Si daca spre exemplu imi da problema asta la un test, trebuie sa analizez toate cele 120 de permutari? Dar daca in loc de $S_5$ pune $S_n$ ?

Mesaj de DD » 22 Sep 2012, 16:56

La test nu iti va da o astfel de tema , fi sigur.

Bogdan Stanoiu · Mesaj de **Bogdan Stanoiu** » 22 Sep 2012, 21:01

DD scrie:Multimea permutarilor cu 5 numere (1,2 ,3 ,4 ,5) va contine 120elemente si fiecare permutare trebue analizata, cu exceptia permutarii identice si a permutarilor inverse , considerand ca pe cele "directe" le-am examinat si-i cam mult.

Ce intelelgi prin "permutare directa" si "permutare inversa " ?
Multimea permutarilor din S(n) poate fi factorizata printr-orelatie de echivalenta ~ definita prin sigma~tau daca si numai daca
sigma=tau sau sigma=tau^(-1).
Alegand un sistem de reprezntanti aferent acestei relatii putem vorbi despre "permutari directe" (cele care fac parte din sistemul de reprezntanti alesi) si "permutari inverse" cele care se pot scrie ca inversa unei permutari din sistemul de reprezntanti alesi.
Multimea "permutarilor directe" si multimea "permutarilor inverse" nu sunt disjuncte deoarece pentru orice permutare involutiva inversa coincide cu permutarea.