O Inegalitate

ShadowV · Mesaj de **ShadowV** » 15 Sep 2012, 22:22

Buna seara! Am incercat sa rezolv o inegalitate, dar nu am reusit sa ii dau de capat nicicum. Imi puteti da va rog vreo idee?

Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu $a*b*c>=1$ .Sa se arate ca ${a}^{n}+{b}^{n}+{c}^{n} >= a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c$ oricare ar fi n>=2.

mathmagix · Mesaj de **mathmagix** » 17 Sep 2012, 19:31

Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu $abc\geq 1$ .Sa se arate ca $a^n+b^n+c^n\geq ab+ac+bc \forall n\geq 2$ .

Pt n= 2 inegalitatea este usor de demonstrat:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+ac+bc) \Leftrightarrow \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\geq 0\Leftrightarrow \\ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq0$
Am obtinut ceva adevarat. Pentru $n\geq3$ vom demonstra ca $a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$

Vom folosi inegalitatea lui Cebasev pentru tripletele: $a^{n-1},b^{n-1},c^{n-1}$ si $a,b,c$
Avem $(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})(a+b+c)\leq3(a^n+b^n+c^n)\Leftrightarrow \\ (a^n+b^n+c^n)\geq\frac{a+b+c}{3}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})$
Si acum folosim inegalitatea mediilor:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}\geq1\text{din ipoteza}$
obtinem
$a^n+b^n+c^n \geq a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 17 Sep 2012, 19:57

mathmagix · Mesaj de **mathmagix** » 18 Sep 2012, 15:43

Pare cam ciudat formalismul pe internet. Eu personal nu tin la el dar raspund cu acelasi tip de respect. Observatia e justa pe care ati facut-o. Si nu stiu acum ce sa fac: sa ma gandesc la o alta solutie sau sa incerc sa rezolv cazul particular ? $a\geq 1, b,c \leq 1$
Apreciez interventia si sunt foarte curios sa vad o solutia corecta si completa. Sa speram ca o sa apara...

mathmagix · Mesaj de **mathmagix** » 18 Sep 2012, 19:13

Domnule... totusi m-am mai gandit... nu e nicio problema cu cazul $a\geq 1,b,c\leq 1$
De exemplu :
$a=7,b=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3}; \frac{1}{2} \geq \frac{1}{3}\text{ si } (\frac{1}{2})^3 \geq (\frac{1}{3})^3; \frac{1}{8}\geq\frac{1}{27}$
Deci cele doua triplete au aceeasi monotonie. Gresec undeva?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 18 Sep 2012, 20:17

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 19 Sep 2012, 18:04

ShadowV scrie:Buna seara! Am incercat sa rezolv o inegalitate, dar nu am reusit sa ii dau de capat nicicum. Imi puteti da va rog vreo idee?

Fie a,b,c 3 numere reale pozitive cu $a*b*c>=1$ .Sa se arate ca ${a}^{n}+{b}^{n}+{c}^{n} >= a\cdot b+b\cdot c+a\cdot c$ oricare ar fi n>=2.

O idee:
In conditiile date de problema putem scrie $a^n+b^n \geq 2 \cdot \sqrt{{a^n \cdot b^n}$ , $a^n+c^n \geq 2 \cdot \sqrt{{a^n \cdot c^n}$ si $b^n+c^n \geq 2 \cdot \sqrt{{b^n \cdot c^n}$ si adunand aceste relatii obtinem $a^n+b^n+c^n \geq \sqrt{a^n \cdot b^n}+ \sqrt{a^n \cdot c^n}+ \sqrt{b^n \cdot c^n}$ .In functie de mai multe cazuri de valori ale lui $a,b,c$ cred ca putem stabili si acea inegalitate ceruta.

Forum AniDeȘcoală.ro

O Inegalitate

O Inegalitate

Re: O Inegalitate