Ultima cifra:| Urgent, va rog mult!

Divizibilitate (cmmdc, cmmmc). Operatii cu fractii pozitive. Rapoarte si proportii. Numere intregi. Puncte, drepte. Unghiuri. Congruenta triunghiurilor. Perpendicularitate. Paralelism. Linii importante. Paralelogramul.
roberta_12
utilizator
utilizator
Mesaje: 93
Membru din: 10 Apr 2012, 12:07

Ultima cifra:| Urgent, va rog mult!

Mesaj de roberta_12 » 21 Mai 2012, 20:58

1) 2012 la puterea 2011+2013 la puterea 2010+ 2014 la puterea 2012

eugen123
utilizator
utilizator
Mesaje: 64
Membru din: 30 Ian 2012, 17:14
Localitate: rm valcea

Mesaj de eugen123 » 22 Mai 2012, 16:53

Pentru a calcula ultima cifra a acelui numar trebuie sa calculam ultima cifra a fiecarei puteri in parte:
Ultima cifra(2012 la puterea 2011)=?
U(2013 la puterea 2010)=?
U(2014 la puterea 2012)=?
Ultima cifra a numarului din textul problemei se obtine din însumarea ultimei cifre a celor trei puteri de mai sus.
Sa le luam pe rand:
Ultima cifra(2012 la puterea 2011)=?
2 la puterea n se noteaza 2^n
Ultima cifra(2012^2011)=Ultima cifra(2^2011)
U(2^1)=2, U(2^2)=4, U(2^3)=8, U(2^4)=6, U(2^5)=2, U(2^6)=4, U(2^7)=8, U(2^8)=6, etc. Deci ultima cifra a lui 2^n se repeta din 4 in 4 puteri.
Ca sa vedem care este ultima cifra a lui 2^2011 îl împartim pe 2011 la 4 si ne da 502 rest 3. Deci 4 se cuprinde de 502 ori in 2011, deci U(2^2008)=6, U(2^2009)=2, U(2^2010)=4, U(2^2011)=8
Deci Ultima cifra(2012 la puterea 2011)=U(2^2011)=8

Analog se calculeaza
U(2013 la puterea 2010)=?
U(2014 la puterea 2012)=?

De exemplu: U(2013 la puterea 2010)=U(3 la puterea 2010)
Se deduce care e ultima cifra a lui 3 la 2010 deoarece ultima cifra a lui 3^n se repeta din 4 in 4 exponenti. Adica:
U(3^1)=3; U(3^2)=9; U(3^3)=7, U(3^4)=1, U(3^5)=3, etc
Impartim pe 2010 la 3 si se obtine 670 rest 0, deci in 2010 se cuprind 670 de grupe de cate 4, deci U(3^2010)=1
ETC

Scrie răspuns