inductia matematica
inductia matematica
am 2 problem ...care nu le stiu rezolva .....va rog sa ma ajutati ....
1*4+2*7+3*10+................+n(3n+1)=n(n+1)*(n+1)
1*4+2*7+3*10+................+n(3n+1)=n(n+1)*(n+1)
Rezolvarea
Avei rezolvarea in fisierul imagine atasat.
(Atentie, trebuie sa fiti logat pentru a putea accesa atasamentele!)
(Atentie, trebuie sa fiti logat pentru a putea accesa atasamentele!)
- Fişiere ataşate
-
Ultima oară modificat 05 Noi 2007, 18:11 de către ex-admin, modificat 1 dată în total.
Te voi ajuta la primul exercitiu, celelalte fiind asemanatoare.CobraRB scrie:salut,ma ajutati si pe mine va rog? am o problema cu 2 exercitii
a)sa se demonstreze daca n>=5 atunci 2 la n > n la 2
b) sa se demonstreze daca n >= 10 atunci 2 la n > n la 3
c)sa se determine numerele naturale n astfel incat 2 la 3n+1 < (n+4) la 2
help pls
Deoarece ai postat aici, e clar ca stii ca metoda de domonstrare este cea prin inductie matematica.
Sper de asemenea ca ai inteles metoda in sine (pasii respectivi), iar digficultatea este aceea de a demonstra , adica presupunand adevarat ca (ipoteza de inductie), sa demonstrezi ca .
Avem:
,
si in acest sir de inegalitati singura care mai trebuie argumentata este ultima:
.
Aceasta este echivalenta succesiv cu:
,
evident adevarata pentru , caci:
Raspuns
Mai intai te rog sa remarci ca la acest exercitiu enuntul este putin diferit.CobraRB scrie:dar inca intampin o problema la ex. 2 la 3n+1 < (n+4) la a2a
nu imi iese
Se cere sa determinam numerele naturale n pentru care :
.
Vei proceda astfel:
Dai pe rand valori lui n (n=1, n=2, ...) pana cand inegalitatea se schimba.
De fapt acest lucru se intampla chair incepand cu n=2.
Deoarece exponentiala "creste mai repede" decat functia putere, banuim ca pentru orice avem .
Trebuie insa ca aceasta afirmatie sa o si demonstram (prin inductie).
Partea cea mai grea, P(n) => P(n+1), este urmatoarea:
Presupunem si demonstram ca , adica .
Avem:
.
Intr-adevar,
,
ultima inegalitate fiind evident adevarata de vreme ce toti trei termeni ai sumei din membrul stang sunt numere naturale, deci pozitive.
Concluzia problemei: Numerel naturale pentru care sunt n=0 si n=1.
-
- utilizator
- Mesaje: 1
- Membru din: 20 Oct 2010, 20:47
Expresia data se numeste "fraza matematica" si se noteaza cu P(n). Problema este sa demonstrezi daca P(n) este adevarat pentru orice valoare a lui "n" -numit parametru, numar natural. Pentru aceasta se foloseste metoda inductiei matematice. Metoda are 3 pasi. Pasul 1]. Se scrie "fraza" pentru valoarea parametrului egala cu 1 si se verifica daca este adevarata. Deci P(1)-> (1 la patrat)= 1.(1+1).(2.1+1)/6 si se vede ca reatia este adevarata. Pasul 2]. Se PRESUPUNE ca "fraza" data initial-P(n) este adevarata. Pasul 3]. Se scrie "fraza" pentru valoarea parametrului egala cu (n+1), adica P(n+1), si folosind ceeace am presupus la pasul 2], demonstram daca P(n+1) este sau nu adevarat. Deci; P(n+1)-> (1 la patrat)+(2 la patrat)+(3 la patrat)+....+(n la patrat) + ([n+1] la patrat)=(n+1).([n+1]+1).(2.[n+1]+1)/6. Conf. pasului 2] vom inlocui , in membrul stang, primii n termeni cu n.(n+1).(2.n+1)/6 si expresi devine ; n.(n+1).(2.n+1)/6+([n+1] la patrat)=(n+1).(n+2).(2.n+3)/6 ,ceeace este adevarat. Daca pasul 1]. si pasul 3] dovedesc ca fraza ,pentru acesti pasi ,este adevarata ,atunci P(n) este adevarata pentru orice valoare a lui "n".GATA
Expresia data se numeste "fraza matematica" si se noteaza cu P(n) si trebue sa se demonstreze ca, P(n) este adevarata pentru orce valoare a lui "n", numar natural si n>=1. Pentru aceasta demonstratie , se folosesc 3 pasi . Deci;
Pasul 1]. Trebue demonstrat ca P(1) este adevarat. In acest caz P(1) este ; 1.2.3.....,k=1.2.3....k.(k+1)/(k+1) , ceea ce este adevarat . (in expresia data ,P(n), s-a facut n=1 )
Pasul 2]. Se PRESUPUNE ca P(n) este adevarat , ceea ce se poate folosi in pasul 3]. .
Pasul 3]. Trebue sa se demonstreze ca P(n+1) este adevarat , folosind pasul 2]. In acest caz P(n+1) este; 1.2.3.....k+2.3.4....k.(k+1)+3.4.5....k.(k+1).(k+2)+....+n.(n+1).(n+2).(n+3).....(n+k-1)+(n+1).(n+2).(n+3)....(n+k-1).(n+k)=(n+1).(n+2).(n+3).....(n+k).(n+k+1)/(k+1) . Vom inlocui , primii "n" termeni , conf. expresiri P(n), considerat adevarat in pasul 2]. . In acest caz expresia P(n+1) devine ;
n.(n+1).(n+2)....(n+k)/(k+1)+ (n+1).(n+2).(n+3)....(n+k)=(n+1).(n+2).(n+3).....(n+k).(n+k+1)/(k+1). Simplificand expresia cu ; (n+1).(n+2).(n+3)....(n+k) , obtinem; n/(k+1)+1=(n+k+1)/(k+1) ceea ce este adevarat . In cazul ca pasii 1]. si 3]. sunt adevarati , atunci P(n) este adevarat pentru orice valoare ,numar natural , a lui "n". GATA . Sunt intrebari?
inductia matematica
Vreau si eu sa ma ajutati sa rezolv urmatoarele exercitii:
a) 1/n+1+1/n+2+...+1/2n>=13/24, oricare n>=2.
b) 1/2*3/4*...*2n-1/2n<1/radical din 2n+1, unde n>=1.
c)n/2<1+1/2+1/3+1/4+...+1/2 la n-1<=n, unde n apartine numerelor naturale fara zero.
[/list]
a) 1/n+1+1/n+2+...+1/2n>=13/24, oricare n>=2.
b) 1/2*3/4*...*2n-1/2n<1/radical din 2n+1, unde n>=1.
c)n/2<1+1/2+1/3+1/4+...+1/2 la n-1<=n, unde n apartine numerelor naturale fara zero.
[/list]