vectori

[alind]

a este rezolvat

[alind]

clasa a 9-a

[red_dog]

O rezolvare fără vectori.
Mai întâi ducem
Implicația
Dacă , atunci . Deci este linie mijlocie în trapezul și rezultă că este mijlocul lui . Atunci .
Din asemănarea triunghiurilor și rezultă
Analog, din asemănarea triunghiurilor și rezultă .
Împărțind egalitățile de mai sus membru cu membru rezultă

Din teorema bisectoarei avem . Cum , rezultă .

Cealaltă implicație. Presupunem
Folosind asemănările triunghiurilor de la prima implicație, făcând raportul egalităților și din ipoteză rezultă . Atunci deci este linie mijlocie în trapezul și este paralelă cu bazele, care sunt paralele cu .

[ghioknt]

Este ușor să reprezentăm vectorii în punctul A. Este suficient să luăm B', C' pe laturile [AB], respectiv [AC] a. î. AB'=DB, AC'=EC. Fie [AP] mediana triunghiului AB'C'. Atunci

Vectori egali, înseamnă că MN și AP au aceeași direcție, atâta doar că AP trece prin A. Și atunci
MN||AA' mediana [AP] este și bisectoare în triunghiul AB'C' AB'=AC', adică DB=CE.