Sa se demonstreze convergenta sirului de mai jos si sa se stabileasca limita sa
an=1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
Sir convergent
Re: Sir convergent
Convergenta iese imediat din 1/k^2<1/(k-1)k=1/(k-1)-1/k, dar chestia cu "sa se stabileasca limita" e din capul tau, nu? Adica nu era in enuntul original...
-
alexandru10
- utilizator
- Mesaje: 62
- Membru din: 11 Noi 2019, 13:56
-
alexandru10
- utilizator
- Mesaje: 62
- Membru din: 11 Noi 2019, 13:56
Re: Sir convergent
Multumesc dar n-am facut asa ceva,
Re: Sir convergent
Nu e vorba de făcut sau nu așa ceva (link-ul duce către valoarea limitei, nu arată și cum se calculează).
Ideea e că limita nu poate fi calculată doar cu cunoștințe de clasa a 11-a (și cu mare dificultate cu cele de clasa a 12-a).
De aceea am presupus că cerința calculării limitei nu era cuprinsă în enunțul original, că niciun autor de culegere/manual n-ar fi atât de idiot.
Ideea e că limita nu poate fi calculată doar cu cunoștințe de clasa a 11-a (și cu mare dificultate cu cele de clasa a 12-a).
De aceea am presupus că cerința calculării limitei nu era cuprinsă în enunțul original, că niciun autor de culegere/manual n-ar fi atât de idiot.
-
alexandru10
- utilizator
- Mesaje: 62
- Membru din: 11 Noi 2019, 13:56
Re: Sir convergent
La nivel de-a 12 s-ar putea s-o inteleg.Cu integrale.Poti sa-mi enumeri pasii care trebuie urmati, fara calcule?
Re: Sir convergent
Sigur. Dar, înainte, vreau să știu care e sursa problemei. (Dacă e "mi-a spus-o un coleg", nu te mai obosi.)
Re: Sir convergent
Salut! Lasa-mi o adresa de mail sa iti scriu acolo pasii sau vrei toata rezolvarea? si eu am fost framantat sa o fac in clasa a XI-a si stiu cum e, eu te cred
Re: Sir convergent
Dacă există =l\in \mathbb{R})
, spunem că seria
este convergentă, iar numărul l este atribuit drept valoare a sumei infinite respective: 
.
Pentru o funcție indefinit derivabilă se poate considera așa zisa dezvoltare în serie de puteri, De exemplu
^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n-1} )
.
Voi nota cu s(x) seria de puteri de mai sus, dar în continuare o voi numi polinom de grad oo, pentru a scoate mai bine în evidență analogiile, mai mult sau mai puțin justificate, pe care le-a folosit și Euler pentru a găsi celebrul lui rezultat.
Ce este remarcabil pentru polinomul s(x) este faptul că egalitatea s(x)=sinx are loc pentru orice x real, ceeace nu se întâmplă pentru orice funcție, pentru multe dintre ele egalitatea de tipul s(x)=f(x) are loc doar într-o vecinătate a lui 0, nu pentru orice x din domeniul de definiție a lui f. Astfel că pentru x=kpi, k întreg, are loc s(kpi)=sin(kpi)=0.
Și iată o primă analogie: vom spune că polinomul s(x) are rădăcinile kpi (deci o infinitate de rădăcini, așa cum îi șade bine unui polinom de grad oo).
Consider acum polinomul=x\left ( 1-\frac{x^2}{\pi ^2} \right )\left ( 1-\frac{x^2}{(2\pi )^2} \right )\left ( 1-\frac{x^2}{(3\pi )^2} \right )\cdot ...)
.
Dacă te uiți cu atenție la fiecare paranteză, constați că rădăcinile polinomului p(x) sunt
,
adică s(x) și p(x) au aceleași rădăcini. În lumea polinoamelor obișnuite, două polinoame cu exact aceleași rădăcini au coeficienții proporționali. Prin analogie, ne așteptăm ca și polinoamele s(x) și p(x) să aibă coeficienții proporționali. Pentru a depista câțiva coeficienți ai lui p(x), să ne imaginăm că facem toate înmulțirile.
=x-x^3\left ( \frac{1}{\pi ^2}+\frac{1}{2^2\pi ^2}+\frac{1}{3^2\pi ^2}+\;... \right )+x^5\left ( ... \right ))
.
Să observăm că temenii de gradul 1 au coeficienții nenuli și egali, deci de fapt cele două polinoame vor avea toți coeficienții egali. Din egalitatea coeficienților lui x^3 se obține:
.
După cum vezi, doar niște speculații ...
Pentru o funcție indefinit derivabilă se poate considera așa zisa dezvoltare în serie de puteri, De exemplu
Voi nota cu s(x) seria de puteri de mai sus, dar în continuare o voi numi polinom de grad oo, pentru a scoate mai bine în evidență analogiile, mai mult sau mai puțin justificate, pe care le-a folosit și Euler pentru a găsi celebrul lui rezultat.
Ce este remarcabil pentru polinomul s(x) este faptul că egalitatea s(x)=sinx are loc pentru orice x real, ceeace nu se întâmplă pentru orice funcție, pentru multe dintre ele egalitatea de tipul s(x)=f(x) are loc doar într-o vecinătate a lui 0, nu pentru orice x din domeniul de definiție a lui f. Astfel că pentru x=kpi, k întreg, are loc s(kpi)=sin(kpi)=0.
Și iată o primă analogie: vom spune că polinomul s(x) are rădăcinile kpi (deci o infinitate de rădăcini, așa cum îi șade bine unui polinom de grad oo).
Consider acum polinomul
Dacă te uiți cu atenție la fiecare paranteză, constați că rădăcinile polinomului p(x) sunt
adică s(x) și p(x) au aceleași rădăcini. În lumea polinoamelor obișnuite, două polinoame cu exact aceleași rădăcini au coeficienții proporționali. Prin analogie, ne așteptăm ca și polinoamele s(x) și p(x) să aibă coeficienții proporționali. Pentru a depista câțiva coeficienți ai lui p(x), să ne imaginăm că facem toate înmulțirile.
Să observăm că temenii de gradul 1 au coeficienții nenuli și egali, deci de fapt cele două polinoame vor avea toți coeficienții egali. Din egalitatea coeficienților lui x^3 se obține:
După cum vezi, doar niște speculații ...
Re: Sir convergent
Sau ne uităm la cât de optimist a fost autorul variantelor de bac din 2007 http://pro-didactica.ro/bac2008_problem ... =38&sub=IV
-
alexandru10
- utilizator
- Mesaje: 62
- Membru din: 11 Noi 2019, 13:56
Re: Sir convergent
Va multumesc mult, dom profesor , dar rezolvarea ma depaseste.Ma scuzati pt timpui rapit inutilghioknt scrie: ↑25 Noi 2021, 21:07Dacă există
Pentru o funcție indefinit derivabilă se poate considera așa zisa dezvoltare în serie de puteri, De exemplu
Voi nota cu s(x) seria de puteri de mai sus, dar în continuare o voi numi polinom de grad oo, pentru a scoate mai bine în evidență analogiile, mai mult sau mai puțin justificate, pe care le-a folosit și Euler pentru a găsi celebrul lui rezulta
După cum vezi, doar niște speculații ...
Re: Sir convergent
Poate că efortul meu de a lumina punctele-cheie ale unei demonstrații făcute de alții nu au fost inutile, pentru că:
1) poate că alții care vor citi postarea mea vor pricepe mai multe,
2) poate că tu însuți, când vei mai dobândi cunoștințe (de ex. despre polinoame la sfârșitul clasei a 12-a) vei depune eforturi ca, în reluare, să înțelegi mai multe,
3) chiar și acum, dacă te străduiești să-ți conștientizezi ce anume nu are înțeles pentru tine, ai putea să pui întrebări punctuale.
Nu abandona în fața greutăților!
Nu-l uita pe robi, care ți-a trimis exact ce l-ai rugat, pașii unei demonstrații adevărate și suficient de accesibile la nivelul (de odinioară?) al clasei a 12-a.
Eu unul aș fi curios să aflu și ce demonstrație știe cristinat, care mai ieri posta întrebări pe acest forum și, după cum văd, tot mai intră să vadă ce probleme se mai dezbat în zilele noastre.
1) poate că alții care vor citi postarea mea vor pricepe mai multe,
2) poate că tu însuți, când vei mai dobândi cunoștințe (de ex. despre polinoame la sfârșitul clasei a 12-a) vei depune eforturi ca, în reluare, să înțelegi mai multe,
3) chiar și acum, dacă te străduiești să-ți conștientizezi ce anume nu are înțeles pentru tine, ai putea să pui întrebări punctuale.
Nu abandona în fața greutăților!
Nu-l uita pe robi, care ți-a trimis exact ce l-ai rugat, pașii unei demonstrații adevărate și suficient de accesibile la nivelul (de odinioară?) al clasei a 12-a.
Eu unul aș fi curios să aflu și ce demonstrație știe cristinat, care mai ieri posta întrebări pe acest forum și, după cum văd, tot mai intră să vadă ce probleme se mai dezbat în zilele noastre.