Sir convergent

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
alexandru10
utilizator
utilizator
Mesaje: 58
Membru din: 11 Noi 2019, 13:56

Sir convergent

Mesaj de alexandru10 » 21 Noi 2021, 21:58

Sa se demonstreze convergenta sirului de mai jos si sa se stabileasca limita sa
an=1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

robi
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 13 Mar 2021, 21:16

Re: Sir convergent

Mesaj de robi » 24 Noi 2021, 00:26

Convergenta iese imediat din 1/k^2<1/(k-1)k=1/(k-1)-1/k, dar chestia cu "sa se stabileasca limita" e din capul tau, nu? Adica nu era in enuntul original...

alexandru10
utilizator
utilizator
Mesaje: 58
Membru din: 11 Noi 2019, 13:56

Re: Sir convergent

Mesaj de alexandru10 » 24 Noi 2021, 19:22

robi scrie:
24 Noi 2021, 00:26
Convergenta iese imediat din 1/k^2<1/(k-1)k=1/(k-1)-1/k, dar chestia cu "sa se stabileasca limita" e din capul tau, nu?
Nu

robi
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 13 Mar 2021, 21:16

Re: Sir convergent

Mesaj de robi » 24 Noi 2021, 19:46


alexandru10
utilizator
utilizator
Mesaje: 58
Membru din: 11 Noi 2019, 13:56

Re: Sir convergent

Mesaj de alexandru10 » 24 Noi 2021, 20:12

Multumesc dar n-am facut asa ceva,

robi
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 13 Mar 2021, 21:16

Re: Sir convergent

Mesaj de robi » 24 Noi 2021, 21:06

Nu e vorba de făcut sau nu așa ceva (link-ul duce către valoarea limitei, nu arată și cum se calculează).
Ideea e că limita nu poate fi calculată doar cu cunoștințe de clasa a 11-a (și cu mare dificultate cu cele de clasa a 12-a).
De aceea am presupus că cerința calculării limitei nu era cuprinsă în enunțul original, că niciun autor de culegere/manual n-ar fi atât de idiot.

alexandru10
utilizator
utilizator
Mesaje: 58
Membru din: 11 Noi 2019, 13:56

Re: Sir convergent

Mesaj de alexandru10 » 24 Noi 2021, 21:45

La nivel de-a 12 s-ar putea s-o inteleg.Cu integrale.Poti sa-mi enumeri pasii care trebuie urmati, fara calcule?

robi
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 13 Mar 2021, 21:16

Re: Sir convergent

Mesaj de robi » 24 Noi 2021, 21:49

Sigur. Dar, înainte, vreau să știu care e sursa problemei. (Dacă e "mi-a spus-o un coleg", nu te mai obosi.)

cristinat
utilizator
utilizator
Mesaje: 98
Membru din: 02 Dec 2014, 21:26

Re: Sir convergent

Mesaj de cristinat » 25 Noi 2021, 18:23

Salut! Lasa-mi o adresa de mail sa iti scriu acolo pasii sau vrei toata rezolvarea? si eu am fost framantat sa o fac in clasa a XI-a si stiu cum e, eu te cred

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1636
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Sir convergent

Mesaj de ghioknt » 25 Noi 2021, 21:07

Dacă există , spunem că seria
este convergentă, iar numărul l este atribuit drept valoare a sumei infinite respective: .

Pentru o funcție indefinit derivabilă se poate considera așa zisa dezvoltare în serie de puteri, De exemplu
.
Voi nota cu s(x) seria de puteri de mai sus, dar în continuare o voi numi polinom de grad oo, pentru a scoate mai bine în evidență analogiile, mai mult sau mai puțin justificate, pe care le-a folosit și Euler pentru a găsi celebrul lui rezultat.
Ce este remarcabil pentru polinomul s(x) este faptul că egalitatea s(x)=sinx are loc pentru orice x real, ceeace nu se întâmplă pentru orice funcție, pentru multe dintre ele egalitatea de tipul s(x)=f(x) are loc doar într-o vecinătate a lui 0, nu pentru orice x din domeniul de definiție a lui f. Astfel că pentru x=kpi, k întreg, are loc s(kpi)=sin(kpi)=0.
Și iată o primă analogie: vom spune că polinomul s(x) are rădăcinile kpi (deci o infinitate de rădăcini, așa cum îi șade bine unui polinom de grad oo).
Consider acum polinomul .
Dacă te uiți cu atenție la fiecare paranteză, constați că rădăcinile polinomului p(x) sunt ,
adică s(x) și p(x) au aceleași rădăcini. În lumea polinoamelor obișnuite, două polinoame cu exact aceleași rădăcini au coeficienții proporționali. Prin analogie, ne așteptăm ca și polinoamele s(x) și p(x) să aibă coeficienții proporționali. Pentru a depista câțiva coeficienți ai lui p(x), să ne imaginăm că facem toate înmulțirile.
.
Să observăm că temenii de gradul 1 au coeficienții nenuli și egali, deci de fapt cele două polinoame vor avea toți coeficienții egali. Din egalitatea coeficienților lui x^3 se obține:
.

După cum vezi, doar niște speculații ...

robi
utilizator
utilizator
Mesaje: 11
Membru din: 13 Mar 2021, 21:16

Re: Sir convergent

Mesaj de robi » 25 Noi 2021, 22:18

Sau ne uităm la cât de optimist a fost autorul variantelor de bac din 2007 http://pro-didactica.ro/bac2008_problem ... =38&sub=IV

alexandru10
utilizator
utilizator
Mesaje: 58
Membru din: 11 Noi 2019, 13:56

Re: Sir convergent

Mesaj de alexandru10 » 26 Noi 2021, 14:51

ghioknt scrie:
25 Noi 2021, 21:07
Dacă există , spunem că seria
este convergentă, iar numărul l este atribuit drept valoare a sumei infinite respective: .

Pentru o funcție indefinit derivabilă se poate considera așa zisa dezvoltare în serie de puteri, De exemplu
.
Voi nota cu s(x) seria de puteri de mai sus, dar în continuare o voi numi polinom de grad oo, pentru a scoate mai bine în evidență analogiile, mai mult sau mai puțin justificate, pe care le-a folosit și Euler pentru a găsi celebrul lui rezulta
.

După cum vezi, doar niște speculații ...
Va multumesc mult, dom profesor , dar rezolvarea ma depaseste.Ma scuzati pt timpui rapit inutil

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1636
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Sir convergent

Mesaj de ghioknt » 26 Noi 2021, 21:55

Poate că efortul meu de a lumina punctele-cheie ale unei demonstrații făcute de alții nu au fost inutile, pentru că:
1) poate că alții care vor citi postarea mea vor pricepe mai multe,
2) poate că tu însuți, când vei mai dobândi cunoștințe (de ex. despre polinoame la sfârșitul clasei a 12-a) vei depune eforturi ca, în reluare, să înțelegi mai multe,
3) chiar și acum, dacă te străduiești să-ți conștientizezi ce anume nu are înțeles pentru tine, ai putea să pui întrebări punctuale.
Nu abandona în fața greutăților!

Nu-l uita pe robi, care ți-a trimis exact ce l-ai rugat, pașii unei demonstrații adevărate și suficient de accesibile la nivelul (de odinioară?) al clasei a 12-a.
Eu unul aș fi curios să aflu și ce demonstrație știe cristinat, care mai ieri posta întrebări pe acest forum și, după cum văd, tot mai intră să vadă ce probleme se mai dezbat în zilele noastre.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj