Functie inversa

[alexandru10]

Fie f:(0,+oo)->R
f(x)=x+lnx
Se cere limita functiei inverse
Am demonstrat bijectivitatea, dar nu pot determina functia inversa

[ghioknt]

Fie f:(0,+oo)->R
f(x)=x+lnx
Se cere limita functiei inverse
Am demonstrat bijectivitatea, dar nu pot determina functia inversa

Nu se poate determina, așa cum îți dorești, o expresie a funcției inverse. Dar știm destule despre inversa acestei funcții astfel încât să rezolvi această problemă și încă altele pe deasupra.
Știm că , adică domeniul de definiție, mulțimea valorilor (și inversa este surjectivă, nu-i așa?), și deci că 0 și oo sunt marginile valorilor acestei funcții necunoscute, mai exact
.
Dacă o funcție continuă pe un interval este inversabilă, atunci și inversa sa este continuă pe domeniul ei de definiție, care și acesta este un interval. Așadar
Deci poți calcula efectiv limita inversei într-un punct dacă ai norocul să vezi soluția acelei ecuații.
Inversa unei funcții strict monotone este strict monotonă și are aceeași monotonie, deci inversa din problemă este strict crescătoare. De aici:
Dacă știi să reprezinți geometric graficul funcției f, atunci poți reprezenta și graficul inversei, căci cele două sunt simetrice față de prima bisectoare.

[alexandru10]

Va multumesc foarte mult.De un an de zile tot incerc exercuitiul asta.Din ce ati spus putem trage concluzia ca lim f^-1(x)->oo cand x->oo?
Daca nu gasese solutiile ecuatiei f(t)=xo rezolvarea exercitiului are de suferit?
Va multumesc

[ghioknt]

La prima întrebare răspunsul este da.
Se știe că dacă o funcție definită pe un inerval deschis (a, b) este crescătoare, atunci marginile valorilor ei sunt date de limitele la capetele intervalelor, limita în a fiind m și limita în b fiind M. Dacă funcția ar fi descrescătoare, atunci M ar fi limita în a și m ar fi limita în b.
Dar în această problemă noi știm pe m și M pentru că știm că este surjectivă, adică putem citi codomeniul din care putem afla că m=0, M=oo. Deaceea limita la -oo nu poate fi decât 0, iar limita la +oo nu poate fi decât +oo.

La a doua întrebare nu am ce să-ți răspund pentru că tu de fapt nu ai afișat niciun exercițiu, ții secret ce limită ai de calculat.
În al doilea rând, te lauzi că ai demonstrat că f este bijectivă, dar folosești pluralul ca să vorbești despre soluțiile ecuației f(t)=xo. Ori o funcție este bijectivă tocmai pentru că ecuația pomenită are o soluție și numai una în domeniul de definiție și asta pentru orice xo din codomeniu.

[alexandru10]

La prima întrebare răspunsul este da.

În al doilea rând, te lauzi că ai demonstrat că f este bijectivă, dar folosești pluralul ca să vorbești despre soluțiile ecuației f(t)=xo. Ori o funcție este bijectivă tocmai pentru că ecuația pomenită are o soluție și numai una în domeniul de definiție și asta pentru orice xo din codomeniu.
.

Mae culpa

[alexandru10]

La prima întrebare răspunsul este da.

În al doilea rând, te lauzi că ai demonstrat că f este bijectivă, dar folosești pluralul ca să vorbești despre soluțiile ecuației f(t)=xo. Ori o funcție este bijectivă tocmai pentru că ecuația pomenită are o soluție și numai una în domeniul de definiție și asta pentru orice xo din codomeniu.
.

Mae culpa:)

[alexandru10]

La prima întrebare răspunsul este da.

În al doilea rând, te lauzi că ai demonstrat că f este bijectivă, dar folosești pluralul ca să vorbești despre soluțiile ecuației f(t)=xo. Ori o funcție este bijectivă tocmai pentru că ecuația pomenită are o soluție și numai una în domeniul de definiție și asta pentru orice xo din codomeniu.
.

Mea culpa