subiecte titularizare 2020

[grapefruit]

1.Se considera numarul natural k>=2 si functia f:R->R, f(x)=x^2+2x+2k
Demonstrați că mulțimea numerelor naturale n pentru care numărul f (n) este pătratul unui număr natural este nevidă.

2.Se considera triunghiul dreptunghic ABC dreptunghic in A si AD perpendiular pe BC, D apartine BC.M este mijlocul segmentului AD, B prim este simetricul punctului B fata de dreapta CM si punctul C prim este simetricul punctului C fata de dreapta BM.Dreptele BC prim si CB prim se intersecteaza in E.
a) Dem. ca punctul M este centrul cercului inscris in triunghiul BCE
b) BE+CE=5/3 BC

3. f=x^4-13x^2+35
Dem ca nu exista h1,h2 din Z[x], de grad cel putin 1, astfel incat f=h1h2

[Felixx]

https://profesorjitaruionel.com/wp-cont ... 03_LRO.pdf
https://profesorjitaruionel.com/wp-cont ... 03_LRO.pdf

[grapefruit]

Solutiioe oficiale le stiu, voiam si altfel

[Felixx]

De ce nu incerci si altfel...

[Felixx]

[ghioknt]

Sunt niște contraexemple foarte bune, Felixx. Vezi, cine caută - găsește!

În orice triunghi ABC, în care evidențiem pe I și pe D, proecția sa pe BC, cu notațiile uzuale avem;


Pentru triunghiul nostru trebuie să înlocuim pe A cu E și pe I cu M, deci CE și BE în loc de b și c, MD în loc de ID.

[grapefruit]

Domule ghioknt, problema cu polinoame si cu ecuatia de gr 2 cum ati fi abordat o daca dvs sustineati acest examen?

[Felixx]

Sunt niște contraexemple foarte bune, Felixx. Vezi, cine caută - găsește!

În orice triunghi ABC, în care evidențiem pe I și pe D, proecția sa pe BC, cu notațiile uzuale avem;


Pentru triunghiul nostru trebuie să înlocuim pe A cu E și pe I cu M, deci CE și BE în loc de b și c, MD în loc de ID.

Domnule profesor ghioknt, grapefruit voia altceva. I-am oferit altceva...adica ceva care a aparut pe internet. Nu am cautat nimic:).Este un simplu canal Youtube la care sunt abonat.Am ramas si eu cam uimit de solutia oferita de domnul prof.Angelo . Sunt convins ca a rezolvat problema la prima vedere si daca o mai face inca o data o face altfel.In matematica posibilitatile sunt nenumarate. Cererea domnului grapefruit a fost satisfacuta:). A vrut altceva .Si am mai vrut sa mai invioram un site care pare "mort" de o vreme incoace. Motivul nu-l cunosc.
Cu stima, Felixx.

[grapefruit]

Raspunsul este simplu. Lumea s a mutat de pe forum pe facebook.

[ghioknt]

@ Felixx

Remarca mea, cine caută - găsește, a vrut să exprime mai ales faptul că, spre deosebire de mulți dintre cei care mai scriu pe acest forum, eu nu am nici abilități, nici timp pentru a căuta subiecte, soluții pe internet. E vorba, deci, de o frustrare a mea. Eu am prostul obicei (?) ca atunci când găsesc o soluție să încerc să o rafinez, să nu plictisesc cititorul cu lucruri neesențiale.
Într-adevăr, domnul profesor a rezolvat la prima vedere subiectele, iar la această problemă a aplicat a aplicat un principiu care nu dă greș mai niciodată: să exprimăm toate mărimile în funcție de una singură și în final nu se poate să nu iasă relația de demonstrat. Riscul este ca, pe ciornă, să calculăm multe lucruri inutile pe care, dacă avem timp, nu le mai scriem și "pe curat".

@ grapefruit
Propun să upgradăm prima problemă.
Se consideră numărul natural și funcția
Aflați numărul elementelor mulțimii numerelor naturale n pentru care f(n) este pătratul unui număr natural.

A spune că există numărul natural n cu proprietatea f(n)=m^2 este totuna cu a spune că ecuația
are o soluție naturală. (Nu poate avea două rădăcini naturale pentru că suma lor trebuie să fie -2). Pentru rădăcini întregi este necesar, dar și suficient ca discriminantul ecuației să fie pătrat perfect.
Ori (formula pe jumătate), dacă este pătrat perfect, este pătratul unui număr mai mic decât m. Adică trebuie să existe un număr natural l, 0<l<m, a. î.
. Asta ne spune că l și d=2m-l sunt doi divizori complementari ai lui 2k-1. Mai aflăm că m=(d+l)/2, iar condiția l<m devine l<d sau .
Răspunsul la problema pusă: numărul cerut este egal cu numărul divizorilor lui 2k-1 mai mici decât .
Într-o asemenea situație soluția pozitivă a ecuației este n=-1+(m-l)= (d-l)/2-1.
Să luăm un exemplu. Pentru k=158 avem este cuprins între 17 și 18, deci divizorii lui 2k-1=315 mai mici decât sunt 1, 3, 5, 7, 9, 15. Există deci 6 valori ale funcției care sunt pătrate perfecte.
Pentru l=1, avem d=315, n=-1+(315-1)/2=156, m=(315+1)/2=158, deci f(156)=158^2.
Pentru l=3, avem d=105, n=-1+(105-3)/2=50, m=(105+3)/2=54, deci f(50)=54^2.
Pentru l=5, avem d=63, n=28, m=34, deci f(28)=34^2.
Pentru l=7, avem d=45, n=18, m=26, deci f(18)=26^2.
Pentru l=9, avem d=35, n=12, m=22, deci f(12)=22^2.
Pentru l=15, avem d=21, n=2, m=18, deci f(2)=18^2.