Sa se arate ca functia :
este surjectiva.
Functii surjective
Re: Functii surjective
Mai întâi voi numerota câteva observații.
1. A demonstra că funcția noastră este surjectivă înseamnă a arăta că toate numerele naturale sunt valori ale ei.
2. Orice interval de lungime l mai mare ca 1, dar mai mică decât 2 conține cel puțin un număr întreg și cel mult două astfel de numere.
3. Fie numerele naturale k și m definite astfel: Atunci f(n)=m.
4. Pe axa numerelor avem următoarea situare:
,
deci între numerele reale și se află exact m numere naturale.
Putem redefini funcția noastră astfel: f(n)= numărul numerelor naturale conținute de intervalul
5. Lungimea acestui interval, , crește nemărginit odată cu n, deci și valorile funcției f cresc nemărginit ( funcția noastră nu este mărginită superior).
6. Să comparăm intervalele . Față de primul interval, cel de al doilea pierde unul sau două numere naturale din intervalul ,
dar câștigă unul sau două numere naturale din intervalul , căci cele două intervale au lungimile și se aplică 2.
Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1.
Fie m o valoare a funcției si n - cel mai mare număr natural a. î. f(n)=m (din observația 5. există un asemenea n).
Datorită acestei alegeri, nu putem avea f(n+1)=m sau f(n+1)=m-1, ci doar f(n+1)=m+1. Cu alte cuvinte, dacă numărul natural m este o valoare, atunci și m+1 este valoare a funcției. Cum și 0 este valoare, (f(0)=f(1)=0), am demonstrat, prin inducție, că toate numerele naturale sunt valori.
1. A demonstra că funcția noastră este surjectivă înseamnă a arăta că toate numerele naturale sunt valori ale ei.
2. Orice interval de lungime l mai mare ca 1, dar mai mică decât 2 conține cel puțin un număr întreg și cel mult două astfel de numere.
3. Fie numerele naturale k și m definite astfel: Atunci f(n)=m.
4. Pe axa numerelor avem următoarea situare:
,
deci între numerele reale și se află exact m numere naturale.
Putem redefini funcția noastră astfel: f(n)= numărul numerelor naturale conținute de intervalul
5. Lungimea acestui interval, , crește nemărginit odată cu n, deci și valorile funcției f cresc nemărginit ( funcția noastră nu este mărginită superior).
6. Să comparăm intervalele . Față de primul interval, cel de al doilea pierde unul sau două numere naturale din intervalul ,
dar câștigă unul sau două numere naturale din intervalul , căci cele două intervale au lungimile și se aplică 2.
Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1.
Fie m o valoare a funcției si n - cel mai mare număr natural a. î. f(n)=m (din observația 5. există un asemenea n).
Datorită acestei alegeri, nu putem avea f(n+1)=m sau f(n+1)=m-1, ci doar f(n+1)=m+1. Cu alte cuvinte, dacă numărul natural m este o valoare, atunci și m+1 este valoare a funcției. Cum și 0 este valoare, (f(0)=f(1)=0), am demonstrat, prin inducție, că toate numerele naturale sunt valori.
-
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Functii surjective
N-am intalnit in viata mea o astfel de abordare... credeti ca exista o demonstratie mai obisnuita sa zic asa....o solutie de gazeta?
Re: Functii surjective
Probanil că există, dar mie nu mi s-a arătat! A trebuit să aștept ca Sf. Duh să pogoare și asupra mea ca să pot și eu, nevrednicul, să arăt altora o cale
Oricum, problema este frumoasă, ar fi nimerit ca Felixx să ne spună povestea ei. Iar dacă cineva găsește vreo soluție mai acătării, să ne delecteze cu ea
Oricum, problema este frumoasă, ar fi nimerit ca Felixx să ne spună povestea ei. Iar dacă cineva găsește vreo soluție mai acătării, să ne delecteze cu ea
-
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Functii surjective
Am postat o pe facebook pe comunitatea profesorilor de mate, daca primesc ceva va anunt!
-
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Functii surjective
Făcui din zdrenţe muguri şi coroane.
Veninul strâns l-am preschimbat în miere,
Lăsând întreaga dulcea lui putere
Descrie foarte bine aceasta solutie!
Veninul strâns l-am preschimbat în miere,
Lăsând întreaga dulcea lui putere
Descrie foarte bine aceasta solutie!
Re: Functii surjective
Multumesc mult pentru aceasta solutie cu o multime de detalii.
-
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Functii surjective
Domnule profesor ghioknt, am studiat solutia si nu imi este clar asta "Asta înseamnă că, pentru orice n, are loc una dintre următoarele: f(n+1)=f(n), f(n+1)=f(n)-1, f(n+1)=f(n)+1". Nu imi este clar de ce din compararea celor 2 intervale si facand observatia cu castig/pierdere din termeni deducem posibilitatea aceea. Puteti fi mai explicit/mai in detaliu?
Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.
Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.
Re: Functii surjective
Uite că n-a fost nevoie să fiu mai explicit. Exact acestea sunt cele patru situații posibile, iar tu le-ai intuit perfectgrapefruit scrie: ↑20 Iun 2020, 15:48
Later: o posibila explicatia la care m am gandit si va rog sa imi confirmati: luam pe cazuri pierdem 1 dar castig unul si justiticam afirmatia f(n+1)=f(n), pierd 1 castig 2 f(n+1)=f(n)+1 ; pierd 2 castig 1 si am justificat f(n+1)=f(n)-1 ; sigur mai sunt si alte cazuri dar tot acolo sunt de exeplu pierd 2 castig 2 e la fel cu castig 1 pierd 1 etc.