limita grea

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 24 Mar 2020, 14:52

Menim · Mesaj de **Menim** » 24 Mar 2020, 23:34

Dand factor comun pe 1/n in suma:
$\lim_{n->\infty } (\frac{n^2+1}{n+1}-\sum_{k=1}^{n}cos(\frac{2\pi}{n+k}))=\lim_{n->\infty } (\frac{n^2+1}{n+1}-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}cos(\frac{2\pi}{1+\frac{k}{n}}))$
Consideram functia, definita pe [0, 1]:
$f(x)=cos(\frac{2\pi}{1+x})$
Suma din limita noastra este o suma Riemann a acestei functii, pentru diviziunile (0, 1/n, 2/n..., 1), si sistemul de puncte intermediare (1/n, 2/n, ..., 1). Functia fiind continua, toate sumele Riemann converg la integrala definita,in cazul nostru cea de la 0 la 1 din f(x). Deci limita noastra este:
$\lim_{n->\infty}(\frac{n^2+1}{n+1}-\int_{0}^{1}cos(\frac{2\pi}{1+x})dx)$
Integrala are o valoarea finita(functia este marginita de -1 si 1), iar limita primului factor este infinit, deci toata limita este +infinit.

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 25 Mar 2020, 00:57

Nu cred ca este corect.

Mesaj de **ghioknt** » 25 Mar 2020, 15:44

grapefruit scrie: ↑
25 Mar 2020, 00:57
Nu cred ca este corect.

Într-adevăr, acel 1/n nu are ce căuta în fața sumei.
Poate găsești o postare mai veche de a mea în care dezbăteam în ce condiții în loc de $\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}f(x_{kn})$
putem calcula $\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}g(x_{kn})$ . Dacă îl găsești, afișează-l, dacă nu, voi reveni.
Aici este voba despre $f(x)=1-\cos x,\;g(x)=\frac{x^2}{2},\;x\in (0;\infty ),\;x_{kn}=\frac{2\pi }{n+k}.$
$\frac{n^2+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2\pi }{n+k}=n+\frac{-n+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\cos\frac{2\pi }{n+k}=\frac{-n+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left ( 1- \cos\frac{2\pi }{n+k}\right )$
$\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( 1- \cos\frac{2\pi }{n+k}\right )=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( \frac{2\pi }{n+k} \right )^2}{2}=\lim_{n\to\infty }\frac{2\pi ^2}{n}\cdot \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\left ( 1+\frac{k}{n} \right )^2}=0$
pentru că al doilea factor este o sumă Riemann și are o limită finită. Răspunsul ar fi deci -1.

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 25 Mar 2020, 16:24

Putin mai pe seara caut postul, eu stiu se el oricum.Am facut si eu propria mea rezolvare vazata pe aceasta idee, as fi curios sa imi spuneti daca e bine.
https://ibb.co/ZxQDCyF

Edit:integrala este 1/(1+x^2)

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 25 Mar 2020, 16:32

viewtopic.php?t=38485

Rezultatul cautat

Mesaj de **ghioknt** » 25 Mar 2020, 17:48

Mulțumesc pentru căutare.
Da, e bine, cu o singură scăpare. Sub integrală eponentul lui (1+x) trebuie să fie -2, nu 2, dar asta nu influențează rezultatul.

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 25 Mar 2020, 18:07

Multumesc pentru feed back. O sa postez pe seara inca o problema impreuna cu ce am incercat la ea.

Forum AniDeȘcoală.ro

limita grea

limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea

Re: limita grea